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数学建模 第十九讲 离散模型 离散模型 离散数：可数个 有限数、自然数…… 概率统计：离散型、连续型 模型：差分方程、整数规划、图论、… … 知识：离散数学 集合、代数、图论、逻辑 一、层次分析法 日常工作、生活中的决策问题：多种方案进行选择 多个旅游点的选择；毕业生工作选择；产品发展方向的选择；选择科研课题…… 比较判断时：人的主观选择起相当大的作用 各因素的重要性难以量化 美国数学家T.L.Saaty 于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process) 定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法 1、模型一：旅游地选择 “五·一”出游：三个旅游点的资料 P1 景色优美；但：旅游热点，住宿条件较差, 费用高 P2 交通方便，住宿条件好，价钱不贵；但景点一般 P3 景点不错，住宿、花费都挺好，但：交通不方便 选择哪一个方案? 2、基本原理 将决策问题分为3个层次： 目标层O，准则层C，方案层P； 每层有若干元素， 各层元素用直线相连 重要性：用权重表示 两两比较 确定各准则对目标的权重——重要性百分比 各方案对每一准则的权重 综合各组权重：确定各方案对目标的权重 基本步骤 → 递节层次结构 最上层 —— 目标层 中间层 —— 准则层 最下层 —— 方案层 例： （2）构造两两比较矩阵 定性 → 量化: 两两比较 两两比较矩阵 A=(aij)n×n 也称为正互反矩阵。 理论分析 i与j比较 （3）计算权重向量 若元素 C1, C2,……, Cn对 O 的重要性量化比较→权重 令其为 ( w1, w2, ……, wn ) 则: 比较矩阵为 当A=(aij)n ：一致权重向量： W=( w1, w2, ……, wn )T则：近似有 于是得: 计算权向量方法 计算权向量方法 特征根法 求 A 的最大正特征根 ? 求 A 的对应于 ? 的特征向量 ( w1, w2, ……, wn ) Matlab命令: [V,D]=eig（A） sum 模型一 另有 近似算法：和法 将 A 的每一列向量归一化 （4）一致性检验 当 A’ 不一致时, ?n 记 A’=A +? ,则由 A’W = ?W 或 AW + ?W = nW+(? -n)W 即: 当(? -n)很小时, A’与A 的不一致误差很小 于是有: 模型一 一致性检验 CIA= (? -n)/(n-1) =0.0712； RIA = 0.9 CRA= CI/RI = 0.07910.1 通过一致性检验 即: 此家庭对 景 吃 费 行 的权重为 0.4969 0.2513 0.1386 0.1132 （5）组合权向量及一致性检验 计算各层元素对于系统目标的总排序权重,并进行排序 求组合权向量方法 用第i层权重向量 求组合权向量方法 2层对1层: W(2) 归一化 3层对2层: W1(3), W2(3)…… Wn(3) →矩阵 X(3) 则: 3层对1层组合权向量为 W(3) = X(3) W(2) 组合一致性检验 下层一致性指标 模型一  两两比较矩阵 Matlab计算 特征值特征向量 λ=3.002，W1=[0.6026 0.0823 0.3150] λ=3.080，W2=[0.0702 0.3707 0.5590] λ=3.094，W3=[0.0989 0.3643 0.5368] λ=3.065，W4=[0.2790 0.6491 0.0719] λ=4.2137, WA=[0.4969 0.2513 0.1386 0.1132] 组合权向量： W (3) = (W1, W2，W3，W4) W= W(3) W(2) 一致性检验： CI1=0.002/2=0.001; CI2=0.04; CI3=0.047; CI4=0.0325 CR1=0.001/0.58=0.0017; CR2=0.069; CR3=0.081; CR4=0.056; CIA=0.0155/3=0.0712；CRA= 0.0712 /0.9=0.0792 答案 组合权向量 W (3) = [.3617, .2538, .3845]T A、B、C三