TV模型及其离散.doc

图像修补中的PDE模型 1全变分修补模型及算法 T.F.ehan和J.shen[18]借鉴了著名的Rudin一Osher一Fatemi[17」TV图像复原模型 Mumford一shah[32]分割模型，重新提出了TV修补模型。TV模型 设Ω为修补区域，它的边界分段光滑，E是内的任意闭区域，假定受 到了高斯噪声的污染。根据最佳猜测和贝叶斯理论，要求一个图像u，在满足约束条 件下使它的能量泛函最小即求 ,其中r(s)是非负函数， 并且u满足 假定中的初始信号是被白噪声污染的，是白噪声的标准偏差。 可以看出上两式联立的修补模型满足修补原则(l)(3)两个条件。为了使修补模型满足条件(2)，必须选择函数r。沿着跳跃边缘，是一个deta函数。因此为了使修卜的图像含有匕跃边缘必须要求有限。若r(s) 只取为简单的多项式，即，则必有。为了使方程也具有凸性，只能取，同时去掉分数项，这样得到的图像修补方法即为Tv修补模型。 一般求解无约束条件的图像修补模型， 其中为拉格朗日因子可以根据图像受到噪声污染的程度估计。对应图像模型，变分项承认边界，但是对于抖动的边界，则为无穷大，因此，模型能够很好的处理边界。根据Euler一Lagrange方程，为简化式(2.1.3)，取乘子为，得到 对于一切，加上Neumann边界条件，扩展Langrange乘子为: (为像素点) 应用最速下降法，因此为: 由于取两个不同的值，所以这就成为一个边界划分的问题。 由于待修补区域内的信息已经丢失，所以在修补区域内部不做去噪声的操作。可 以看出，在待修补区域内部，该模型仅进行了各项异性的扩散操作，而在修补区域 外部，模型可以同时进行消除噪声的操作。 值得注意的是，待修补区域的尺度对TV模型的最终效果有一定的影响〔18]。如图2.1.1，一条黑色的条带与一条灰色的条带垂直相交其相交区域即为待修补区域记灰色条带区域的颜色为a，黑色条带区域的颜色为b。区域内颜色为常数时(不考虑噪声)，TV模型有最优解。假设区域贝内最终颜色为c，则根据TV模型，区域内的梯度总和为 （2.1.7） 不难证明，由于，使式（2.1.7）取最小值的c应该为,，也就是尺度较大的条带的颜色将被填充到区域内 图2.1.1尺度对TV模型的影响 但是，对于下图的情况运用这种模型就无法得到理想的结果。即使lw时，一般人类视觉也会倾向于把断开的两个部分连接起来。为了使修补模型满足连接性原则并且有较光滑的边缘，可利用曲率加以改进，即曲率驱动(CDD)的修补模型。 (a)缺失图像(lw) (b)人类视觉修补结果 (c)TV模型修补果 图2.1.2TV方法修补结果与人类视觉修补结果相悖 TV模型离散化 目标像素及邻域点示意图 利用九点矩形窗口对模型离散化，采用半点格式，其中为假想象素子点，其值取相邻的两个象素点的均值，h为离散化的步长对于本文的离散化方法，全部取值为1。令 因此 对于点有 以的求解为例： 其中 因此在点处，差分方程为 而 记 其中，是为防止梯度为零的小的扰动。这里我们取。 进一步整理得到 令 则