Littlewood-Paley算子交换子的Lipschitz估计.pdf

淄博师专学报 2016年第 2期 JournalofZiboNormalCollege 总第 44期 Littlewood-Paley算子交换子的Lipschitz估计 王洪彬 ，武怡宏 (淄博师范高等专科学校 ，山东 淄博 255130) 摘要：本文应用变指标Herz型Hardy空间上的原子分解定理，证明了由Littlewood-Paley算子和Lipschitz函数 生成的交换子在变指标 Herz型 Hardy空间上的有界性． 关键词 ：Littlewood—Paley算子；交换子；Herz型Hardy空间；变指标；Lipschitz估计 中图分类号 ：O174．2 文献标识码 ：A 文章编号 ：(2016)02—0045—04 Abstract：ByusingtheatomicdecompositioncharacterizationsofHerz—typeHardyspaceswith variableexponent，someboundednessofthecommutatorsgeneratedbyLittlewood—Paleyoperators andLipschitzfunctionsontheHerz—typeHardyspaceswithvariableexponentisobtained． Keywords：Littlewood—Paleyoperator；commutator；Herz—typeHardy space；variableexponent； Lipschitzestimate Littlewood—Paley算子及其交换子是调和分 且满足对某个 0，使得 析中的重要算子，在调和分析和偏微分方程 的研 j_( ) 如O0． 究中具有极其重要的作用．随着 1991年Kovd~ik 和 Rdkosnik的文章[1]出现后 ，近些年来 ，变指标 赋予如下 Luxemburg—Nakano范数 函数空间理论得到了迅速 的发展，具有可积性指 ll厂llL )(0)一 标 的 Lebesgue空间和 Sobolev空间被广泛研 {。；j’。( ) 出 } 究[2]．之后人们相继建立了变指标Bessel位势空 间(即广义 变指 标 Sobolev空 间)[3]，变 指标 则L (Q)是 Banach空间，称之为变指标 Triebel—Lizorkin空间[4]，变指标 Herz空间_5]，变 Lebesgue空间，或者可 以简单地看作是变指标 指标 Hardy空间[6]和变指标 Herz型 Hardy空 L 空间，因为它们推广 了标准的L 空间：如果 间[7 ，对于调和分析 中的重要算子及其交换子 (z)一P是常数 ，那么L (Q)与L (Q)是等 在上述空间中的研究也得到了丰富的成果-1卜¨]． 距同构的．变指标 L 空间是 Musielak—Orlicz空 本文应用变指标Herz型 Hardy空间上的原子分 间的一种特殊情形． 解定理，证明了由Littlewood—Paley算子和 Lips- 对所有的紧子集EcQ ，定义空间L 。(Q) chitz函数生成的交换子在变指标 Herz型 Hardy 为L 。(Q)：==：{f：f ∈L (E))．定义 P(t2) 空间上的有界性． 为 p(·)：Q — E1，O0)的集 合，使 得 P一一 essinf{(z)：X∈ Q) 1，P = ~ssup{户()： 一 、 预备知识和记号 ∈Q} O0．记 (z)一P(z)／(p(z)一 1)．令 B(21)为p(·)∈P(21)并使得