南京市金陵中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷.docx
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南京市金陵中学2023-2024学年高二下学期期中测试
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知，则（）
A. B. C.5 D.
2.的展开式中，的系数为（）
A. B.7 C.8 D.12
3.某电视台计划在五一期间某段时间连续播放5个广告，其中2个不同商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个必须是公益广告，且商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有（）种.
A.144 B.72 C.64 D.36
4.已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增，若，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
5.已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（）
A.8 B.5 C.2 D.1
6.在中，已知，，若分别是的三等分点，其中靠近点，记，，，则（）
A. B. C. D.
7.已知，.设p：，q：，则p是q的（）条件.
A充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要
8.已知分别是双曲线左、右顶点，是双曲线上的一动点，直线，直线与分别交于两点，记，的外接圆面积分别为，则的最小值为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.设，随机变量的概率分布如表，则（）
0
1
2
A. B.随增大而增大
C. D.最小值为
10.点关于直线的对称点在圆内，则实数可以为（）
A.4 B.6 C.8 D.10
11.（多选）如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（）
A.异面直线与所成角大小为
B.二面角的平面角的余弦值为
C.此八面体存在外接球
D.此八面体的内切球表面积为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12.要从高二（16）班8名班干部（其中5名女生，3名男生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，记事件为“女生甲被选中”，事件为“有两名男生被选中”，则的值为______．
13.若函数存在最小值，则的取值范围是______．
14.德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形后，保留靠角的4个，删去其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删去；以此方法继续下去……、经过n次操作后，共删去______个小正方形；若要使保留下来的所有小正方形面积之和不超过，则至少需要操作______次．（）
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.在的展开式中，
（1）求二项式系数最大的项；
（2）求系数的绝对值最大的项为第几项．
16.已知正项数列前项和记为，，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，．当时，求的值．
17.如图，直四棱柱底面为平行四边形，，，，，是的中点．平面满足：直线平面，直线平面．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值．
18.在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，已知椭圆长轴长是短轴长的3倍，且椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知平行四边形的四个顶点均在上，求平行四边形的面积的最大值．
19.已知函数．
（1）若，求方程的实数解；
（2）若关于的方程在区间上有且只有一个解，求实数的范围；
（3）若，是否存在实数，使不等式在区间上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．
答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
【9题答案】
【答案】AD
【10题答案】
【答案】BC
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答