参数方程的若干性质.doc

分类号：TP391学号：1107140135

本科毕业论文

参数方程的若干性质

ResearchandRealizationofMACRO

MotionControlNetworkbasedonFPGA

姓名：张涛

专业：数学与应用数学

指导教师姓名：赵宏发

指导教师职称：副教授

2015年4月

摘要

参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表现形式，某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更加方便。学习参数方程有助于学生进一部体会解决问题中的数学教学方法的灵活多变。

在中学数学教学中，方程的教学一直是一个重点，学生在学习和解决方程的过程当中，遇到了很多问题。而参数方程在解决几何问题的过程中，具有非常中重的作用，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。在本文将通过曲线，圆锥曲线，直线，以及渐开线和摆线四个大方向来学习，通过推导到实际运用对进行参数方程的性质进行总结和归纳，并浅谈它在中学数学中的一些应用。

关键词：参数方程曲线圆锥曲线直线渐开线与摆线几何性质

目录

TOC\o1-3\h\u摘要 I

Abstract II

第一章绪论 1

1.1课题的研究背景及意义 1

第二章圆的参数方程

2.1圆的参数方程的推导及其意义1

2.2圆的参数方程的运用2

第三章圆锥曲线的参数方程 3

3.1椭圆的参数方程3

3

4

3.2双曲线、抛物线的参数方程4

4

6

直线的参数方程

4.1直线的参数方程的推导及其意义7

4.2直线的参数方程的运用8

第五章结论 8

致谢 9

参考文献 10

长春师范大学本科毕业论文（设计）原创性声明 11

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绪论

1.1课题的研究背景及意义

参数方程和函数很相似：它们都是由一些在指定的集的数，称为参数或自变量，以决定因变量的结果。例如在运动学中，参数通常是“时间”，而方程的结果是速度、位置等。研究参数方程的性质，对学习几何学，了解几何，解决几何问题都有非常大的作用。

第二章圆的参数方程

2.1圆的参数方程的推导及其意义

1.圆心在原点的圆的参数方程

圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为

θ有意义：旋转角0到2π（x轴到连心线）

怎样得到圆心在,半径为r的圆的参数方程呢?可将圆心在原点、半径为r的圆按向量平行移动后得到,所以圆心在,半径为r的圆的参数方程为

（θ∈[0，2π)）(a,b)为圆心坐标，r为圆半径，θ为参数，(x,y)为经过点的坐标

2.2圆的参数方程的运用

1、求最值

【例1】已知点（x，y）在圆上，求的最大值和最小值。

【解】圆的参数方程为：。

则=

==，则（k∈Z）时，的最大值为：；（k∈Z）时，的最小值为。

2、求轨迹

【例2】在圆上有定点A（2，0），及两个动点B、C，且A、B、C按逆时针方向排列，∠BAC=，求△ABC的重心G（x，y）的轨迹方程。

【解】由∠BAC=，得∠BOC=，设∠ABO=θ（），则B(2cosθ,2sinθ)，C(2cos(θ+)，2sin(θ+))，由重心坐标公式并化简，得：，由，知0≤x＜1，

消去θ得：（0≤x＜1＝。

3、求范围

【例3】已知点P（x，y）是圆上任意一点，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，求c的取值范围。

【解】圆的参数方程为：，则有：x+y=1+sinθ+cosθ=1+，－（x+y）=－1－，－（x+y）的最大值为：－1+，由于x+y+c≥0，所以，c≥－（x+y）恒成立，即c≥－1+。

4、求斜率

【例4】Oxy(2,1)

O

x

y

(2,1)

图2

【解】函数的值，是以原点为圆心的单位圆上的点（cosθ，sinθ）与点（2，1）所连线的斜率，最值在切线处取得，容易求得最大值为：，最小值为：0。

圆锥曲线的推导及其意义

3.1椭圆的参数方程

1.焦点在轴上的椭圆的参数方程

因为，又设，即，这是中心在原点O,焦点在轴上的椭圆的参数方程。

2.参数的几何意义

问题、如右图，以原点O为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆。设A为大圆上的任意一点，连接OA,与小