9-3 三重积分及其计算演示教学.ppt

一、三重积分的定义 二、直角坐标系下三重积分的计算 三、小结 * 一、三重积分的概念 将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域，被积函数推广到三元函数，就得到三重积分的定义. * 类似二重积分解决问题的思想, 采用 ? 引例: 设在空间有限闭区域 ? 内分布着某种不均匀的 物质, 求分布在 ? 内的物质的 可得 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 * * 其中 dv 称为体积元，其它术语与二重积分相同 若极限存在，则称函数可积 若函数在闭区域上连续， 则一定可积 由定义可知 三重积分与二重积分有着完全相同的性质 三重积分的物理背景 以 f ( x, y, z ) 为体密度的空间物体的质量 特别地， * 二、在直角坐标系中的计算法 如果我们用三族平面 x =常数，y =常数, z =常数,对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体 其体积为 故在直角坐标系下的体积元素为 三重积分可写成 和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算 具体可分为“先一后二”和“先二后一”。 * ①先一后二 * ——也称为“投影穿线法”（ 先z次y后x ） * 用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。 化三次积分的步骤 ⑴ 投影，得平面区域 ⑵ 穿越法定限，穿入点—下限，穿出点—上限 对于二重积分，我们已经介绍过化为累次 积分的方法。 * 三重积分化为三次积分的过程： 得到 事实上， * 得到 事实上， * 得到 事实上， * 其中? 为三个坐标 例1. 计算三重积分 所围成的闭区域 . 解: 面及平面 * * 例3：求 y = 0, z = 0 和 x+y+z =1所围成的四面体. 解: ?在xy面上的投影区域为 Dxy : 0 ? y ?1?x, 0 ? x ?1. 沿 z 轴方向,下方曲面: z=0, 上方曲面: z = 1? x ? y. y 0 z x 1 1 1 Dxy x+ y=1 x+ y+z=1 * * 例3：求 y = 0, z = 0 和 x+y+z =1所围成的四面体. 解: ?在xy面上的投影区域为 Dxy : 0 ? y ?1?x, 0 ? x ?1. 沿 z 轴方向,下方曲面: z=0, 上方曲面: z = 1? x ? y. y 0 z x 1 1 1 Dxy x+ y=1 x+ y+z=1 * 类似, * 解 * 练习：用投影法计算 其中 由 围成。 4 解 * 除了上面介绍的先单后重法外，利用先重后单法( 截面法或切片法 )也可将三重积分化成三次积分。 先二后一，就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分。 若 f(x,y,z) 在 上连续， 介于两平行平面 z = c1 , z = c2 (c1 c2 ) 之间 用任一平行且介于此两平面的平面去截 得区域 则 ②先二后一 * 易见，若被积函数与 x , y 无关，或二重积分容易计算时，用截面法较为方便， 就是截面的面积， 如截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积较易计算 。 尤其当 f ( x , y , z ) 与 x , y 无关时， * * 利用“先二后一”计算. 例5. 试计算椭球体 的体积 V. 解 * 例6 计算 解 故 *