三近自由电子模型.ppt

三．近自由电子模型 近自由电子哈密顿算符可写成 : 其中 1.定态非简并微扰 由量子力学定态非简并微扰理论可知，定态薛定谔方程 (k,r)＝E(k) ?(k,r) 的解是 E(k)＝E(0)(k)＋E(1)(k)＋E(2)(k)＋… ?(k,r)＝?(0)(k,r)+?(1)(k,r)＋… 零级近似解，就是自由电子的解： ?(0)(k,r)＝ 由量子力学理论可知，一级修正和二级修正分别为 ? E(1)(k)＝H’kk＝ (k,r)V(r)?(0)(k,r)d?r＝ =0 由平面波的正交归一性 交换求和次序 其中 讨论： ① 晶体中的波函数ψ(k,r)由两部分组成：一部分是原来波矢为k的平面波， 另一部分是波矢为k－Gh的散射波的叠加。周期势场V( r )较弱时，它的展开系数VGh也较小，当k2与|k－ Gh | 2 相差较大时，散射波较弱。 使E(2) (k)→∞（不收敛）的条件： E(0) (k)＝E(0) (k，) k’=k－Gh 先计算 ，只有当 ≠0时，二态之间才有耦合，在所有有耦合的态中，再考虑有无简并而分别处理。若有简并按下面的简并微扰处理。 2．定态简并微扰 k-k’= n + n =Gh 且 E(0)(k)＝E(0)(k’) 得 A[ E(0)(k)-E(k) +V(x) ] eikx+ +B[E(0)(k)-E(k) +V(x) ] eik’x =0 3．能隙产生的物理解释 若利用E（k）的表示式可确定A，B，即可得到波函数的表示式。 代入A式 [E(k)-E(0)(k)]A -BVn =0 (A)  得到 电子云驻波分布 由图可知，ψ－(π/a,x)的势能 比ψ＋(π/a,x)的势能高。这就是在B.Z.边界上能量产生不连续跳跃的原因。 4．近自由电子的状态密度 自由电子的态密度函数D（E）为 以二维正方晶格为例，当波矢k到达布里渊区边界时，出现禁带，宽度为2│Vn│，当波矢远离布里渊区边界时，电子能量基本仍为自由电子的表示式，从远离到接近布里渊区边界的过程中，修正项逐渐增大，但其变化应是连续的。 * 无限大真空中 自由电子 k可取连续值 周期性边界条件 自由电子气 k取分离值 索末菲模型自由电子费米气 泡利不相容 费米分布 S－方程 周期势场 微扰 近自由电 子模型 晶体中电子与自由电子的区别在于周期边界条件和周期势场。 如果假设晶体中有一个很弱的周期势场，则电子的运动情况应当与自由电子比较接近，但同时也必然能体现出周期势场中电子状态的新特点，这样的电子就叫近自由电子。 是自由电子的哈密顿算符； 后用 或 两边取共轭 ∵周期场是实的 V(x)＝V※（x） ∴ VGn※＝V－Gn V※n＝V－n 后用 其中微扰矩阵元 Hkk’＝??（0〕※(k, r)V(r)?(0)(k’，r)d?r 后用 ∴ E(k)＝E(0) (k)+E(2) (k) ψ(k,r)＝ψ(0)(k,r)+ψ(1)(k,r) ② 当E(0) (k)＝E(0) (k，)，能量相等，是否以上计算无效？ ∵ k’≠k－Gh的态未进入E、ψ的表示式，这样的k’态和k态之间无耦合。 思路： ∴ 布里渊区边界的 二态简并。 由上式看到，当满足 E(0) (k)＝E(0) (k，) k’=k + Gh 时修正项很大，应该用定态简并微扰理论。 例如：当k＝n k’＝－ n 由量子力学简并微扰理论 ψ(0)（k,r）＝Aψ（0）（k,r）＋Bψ（0）（k’,r） 考虑一维情况，注意到 （0）ψ（0）（k,x）＝E（0）(k) ψ（0）（k,x） 代入 等式两边乘e－ikx ，并对整个晶体积分，并注 意到E(0)(k)，E(k)不是x的函数，并利用 ??（0〕※(k, r)V(