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精算师真题答案解析2024

1.假设某保险产品的理赔次数服从参数为λ=3的泊松分布，求该保险产品在一年内理赔次数不超过2次的概率。

根据泊松分布的概率质量函数\(P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}\)，其中\(X\)表示理赔次数，\(\lambda\)是泊松分布的参数，\(k\)是理赔次数取值。

要求理赔次数不超过2次的概率，即\(P(X\leq2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\)。

当\(k=0\)时，\(P(X=0)=\frac{e^{-3}\times3^{0}}{0!}=e^{-3}\approx0.0498\)。

当\(k=1\)时，\(P(X=1)=\frac{e^{-3}\times3^{1}}{1!}=3e^{-3}\approx3\times0.0498=0.1494\)。

当\(k=2\)时，\(P(X=2)=\frac{e^{-3}\times3^{2}}{2!}=\frac{9e^{-3}}{2}\approx\frac{9\times0.0498}{2}=0.2241\)。

所以\(P(X\leq2)=e^{-3}+3e^{-3}+\frac{9e^{-3}}{2}=e^{-3}(1+3+\frac{9}{2})=e^{-3}\times\frac{2+6+9}{2}=\frac{17}{2}e^{-3}\approx0.4232\)。

2.已知某风险的损失金额\(X\)服从正态分布\(N(1000,200^{2})\)，求损失金额超过1300的概率。

首先，若\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，则\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\simN(0,1)\)，这里\(\mu=1000\)，\(\sigma=200\)。

要求\(P(X1300)\)，先进行标准化：

\(P(X1300)=1-P(X\leq1300)\)，令\(Z=\frac{X-1000}{200}\)，当\(X=1300\)时，\(Z=\frac{1300-1000}{200}=\frac{300}{200}=1.5\)。

所以\(P(X\leq1300)=P(Z\leq1.5)\)，查标准正态分布表可得\(P(Z\leq1.5)=0.9332\)。

则\(P(X1300)=1-0.9332=0.0668\)。

3.设某保险公司的初始准备金为\(u=50\)，保费收入率为\(c=20\)，理赔次数\(N(t)\)服从参数为\(\lambda=2\)的泊松过程，每次理赔金额\(Y_{i}\)独立同分布，且\(E(Y_{i})=10\)，求该保险公司在\(t=2\)时刻的盈余\(U(2)\)的期望值。

根据盈余过程的定义\(U(t)=u+ct-\sum_{i=1}^{N(t)}Y_{i}\)。

先求\(E\left(\sum_{i=1}^{N(t)}Y_{i}\right)\)，由复合泊松过程的期望公式\(E\left(\sum_{i=1}^{N(t)}Y_{i}\right)=\lambdatE(Y_{i})\)。

已知\(\lambda=2\)，\(t=2\)，\(E(Y_{i})=10\)，则\(E\left(\sum_{i=1}^{N(2)}Y_{i}\right)=2\times2\times10=40\)。

又\(u=50\)，\(c=20\)，\(t=2\)，所以\(E(U(2))=u+ct-E\left(\sum_{i=1}^{N(2)}Y_{i}\right)\)。

\(E(U(2))=50+20\times2-40=50+40-40=50\)。

4.已知某年金在每年年初支付100元，共支付10年，年利率为\(5\%\)，求该年金的现值。

这是一个期初年金的问题，期初年金现值公式为\(PV=A\times\frac{1-(1+r)^{-n}}{d}\)，其中\(A\)是年金金额，\(r\)是年利率，\(n\)是支付期数，\(d=\frac{r}{1+r}\)。

这里\(A=100\)，\(r=0.05\)，\(n=10\)，\(d=\frac{0.05}{1+0.05}=\frac{0.05}{1.05}\)。

\(PV=100\times\frac{1-(1+0.05)^{-10}}{\frac{0.05}{1.05}}=100\times1.05\times\frac{1-(1+0.05)^{