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精算师历年真题摘选附带答案2024

选择题

1.已知某保险产品的赔付额X服从参数为λ=3的指数分布，若设定免赔额为2，则每次赔付的期望赔付额为（）

A.$\frac{1}{3}e^{-6}$

B.$\frac{1}{3}e^{-3}$

C.$\frac{1}{3}e^{-2}$

D.$\frac{1}{3}$

答案：C

解析：指数分布的概率密度函数为$f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x\gt0$，分布函数为$F(x)=1-e^{-\lambdax},x\gt0$。设赔付额为$Y$，当$X\leq2$时，$Y=0$；当$X\gt2$时，$Y=X-2$。

$E(Y)=\int_{2}^{\infty}(x-2)\lambdae^{-\lambdax}dx$，令$t=x-2$，则$x=t+2$，$dx=dt$，积分变为$\int_{0}^{\infty}t\lambdae^{-\lambda(t+2)}dt=e^{-2\lambda}\int_{0}^{\infty}t\lambdae^{-\lambdat}dt$。

对于指数分布，$\int_{0}^{\infty}t\lambdae^{-\lambdat}dt=\frac{1}{\lambda}$，已知$\lambda=3$，所以$E(Y)=\frac{1}{3}e^{-2\times3}=\frac{1}{3}e^{-6}$。

2.设随机变量$X$服从正态分布$N(2,4)$，则$P(X\gt4)$等于（）

A.$1-\varPhi(1)$

B.$\varPhi(1)$

C.$1-\varPhi(2)$

D.$\varPhi(2)$

答案：A

解析：若$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，则$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\simN(0,1)$。已知$X\simN(2,4)$，则$\mu=2$，$\sigma=2$。

$P(X\gt4)=1-P(X\leq4)=1-P(\frac{X-2}{2}\leq\frac{4-2}{2})=1-P(Z\leq1)=1-\varPhi(1)$。

3.以下关于生存函数$S(x)$的性质，错误的是（）

A.$S(0)=1$

B.$S(\infty)=0$

C.$S(x)$是单调递增函数

D.$S(x)$是右连续函数

答案：C

解析：生存函数$S(x)=P(T\gtx)$，表示个体存活到年龄$x$的概率。$S(0)$表示个体刚出生就存活的概率，显然为1；$S(\infty)$表示个体存活到无穷大年龄的概率，为0；$S(x)$是单调递减函数，因为随着年龄$x$的增加，存活到该年龄的概率会越来越小；且$S(x)$是右连续函数。

4.在双因素方差分析中，设因素A有$r$个水平，因素B有$s$个水平，每个水平组合下有$n$个观测值。则误差平方和的自由度为（）

A.$rs(n-1)$

B.$(r-1)(s-1)$

C.$r+s-2$

D.$rsn-1$

答案：A

解析：在双因素方差分析中，总自由度为$N-1=rsn-1$，因素A的自由度为$r-1$，因素B的自由度为$s-1$，交互作用的自由度为$(r-1)(s-1)$。误差平方和的自由度为总自由度减去因素A、因素B和交互作用的自由度，即$rsn-1-(r-1)-(s-1)-(r-1)(s-1)=rs(n-1)$。

5.已知某种寿险产品，在被保险人死亡年末赔付1单位保额，利率为$i$，生存函数为$S(x)$，则$(x)$的保额为1的终身寿险的趸缴纯保费为（）

A.$\sum_{k=0}^{\infty}v^{k+1}_{k|}q_{x}$

B.$\sum_{k=0}^{\infty}v^{k}_{k}p_{x}$

C.$\sum_{k=1}^{\infty}v^{k}_{k}q_{x}$

D.$\sum_{k=1}^{\infty}v^{k}_{k}p_{x}$

答案：A

解析：终身寿险趸缴纯保费是在考虑利率和死亡概率的情况下，为了在被保险人死亡时支付1单位保额，在投保时应缴纳的纯保费。

$_{k|}q_{x}=P(x\ltT\leqx+k+1)$表示$(x)$在未来第$k$年末到第$k+1$年末之间死亡的概率，$v=\frac