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精算师考试题目解析2024

数学基础部分

1.已知随机变量\(X\)服从正态分布\(N(3,4)\)，求\(P(1X7)\)。

-首先，若\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，则\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\simN(0,1)\)。

-这里\(\mu=3\)，\(\sigma=2\)。

-对于\(P(1X7)\)，将其标准化：

-当\(X=1\)时，\(Z_1=\frac{1-3}{2}=-1\)；当\(X=7\)时，\(Z_2=\frac{7-3}{2}=2\)。

-所以\(P(1X7)=P(-1Z2)\)。

-根据正态分布的性质\(P(-1Z2)=\varPhi(2)-\varPhi(-1)\)。

-又因为\(\varPhi(-z)=1-\varPhi(z)\)，所以\(\varPhi(-1)=1-\varPhi(1)\)。

-查标准正态分布表可得\(\varPhi(1)=0.8413\)，\(\varPhi(2)=0.9772\)。

-则\(P(-1Z2)=\varPhi(2)-(1-\varPhi(1))=0.9772-(1-0.8413)=0.8185\)。

2.设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\simU(0,\theta)\)的样本，求\(\theta\)的矩估计量。

-首先求总体\(X\)的一阶矩\(E(X)\)。

-对于均匀分布\(X\simU(a,b)\)，其期望\(E(X)=\frac{a+b}{2}\)，这里\(a=0\)，\(b=\theta\)，所以\(E(X)=\frac{\theta}{2}\)。

-用样本一阶矩\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)代替总体一阶矩\(E(X)\)。

-令\(\overline{X}=E(X)\)，即\(\overline{X}=\frac{\theta}{2}\)。

-解得\(\hat{\theta}=2\overline{X}\)，所以\(\theta\)的矩估计量为\(2\overline{X}\)。

3.已知函数\(y=x^3e^{2x}\)，求\(y\)。

-根据乘积的求导法则\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)，设\(u=x^3\)，\(v=e^{2x}\)。

-先求\(u^\prime\)和\(v^\prime\)：

-由求导公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，可得\(u^\prime=3x^2\)。

-由求导公式\((e^{ax})^\prime=ae^{ax}\)，可得\(v^\prime=2e^{2x}\)。

-则\(y^\prime=u^\primev+uv^\prime=3x^2e^{2x}+2x^3e^{2x}=x^2e^{2x}(3+2x)\)。

4.计算定积分\(\int_{0}^{1}(x^2+\sqrt{x})dx\)。

-根据定积分的性质\(\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx\)。

-分别计算\(\int_{0}^{1}x^2dx\)和\(\int_{0}^{1}\sqrt{x}dx\)。

-由定积分公式\(\intx^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\neq-1)\)，对于\(\int_{0}^{1}x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}\)。

-对于\(\int_{0}^{1}\sqrt{x}dx=\int_{0}^{1}x^{\frac{1}{2}}dx=\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{3}(1-0)=\frac{2}{3}\)。

-所以\(\int_{0}^{1}(x^2+\sqrt{x})dx=\frac{1}