考点9 三角形(原卷版).doc

三角形的基础知识 ○○○○○ 三角形的定义 三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形是最基本的多边形．一般用大写英语字母为顶点标号，用小写英语字母表示边，用阿拉伯数字表示角． 三角形三个内角的和等于180度 三角形任何两边的和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 按角度 a．锐角三角形：三个角都小于90度． b．直角三角形：简称，其中一个角等于90度． c．钝角三角形：其中一个角一定大于90度，钝角大于九十度且小于一百八十度． 其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形． 按边 不等边三角形：3条边都不相等． 等腰三角形：有2条边相等． 等边三角形：3条边都相等． 判定方法 若一个三角形的三边a，b，c（）满足 ，则这个三角形是锐角三角形； ，则这个三角形是直角三角形； ，则这个三角形是钝角三角形． 主要特点 1．三角形的任意两边的和一定大于第三边，由此亦可证明三角形的两边的差一定小于第三边． 2．三角形内角和等于180度． 3．等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一． 4．直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理．直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 5．三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的两个内角之和． 6．三角形30度的角所对应的直角边等于斜边的一半[来源:学科网ZXXK] 7．一个三角形的3个内角中最少有2个锐角． 8．三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点． 9．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a^2+b^2=c^2．那么这个三角形就一定是直角三角形． 10．三角形的外角和是360°． 11．等底同高的三角形面积相等． 12．底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比． 13．三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4． 14．在△ABC中恒满足． 15．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角． 16．全等三角形对应边相等，对应角相等． 17．在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度．（包括等边三角形） 18．△ABC，恒有【tan（A/2）+tan（B/2）】【tan（A/2）+tan（C/2）】=【sec（A/2）】2． 19．三角形的重心是三角形三条中线的交点． 20．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点． 21．三角形的外心是指三角形三条边的中垂线的交点． 22．三角形的三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心． 23．三角形的两条外角平分线和另外一条内角平分线的交点叫做三角形的旁心． 24．三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形． 25．三角形具有稳定性，不易变形． 相关定理 中位线定理 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 推论：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边． 中线定理 三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍． 三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 相关定理 中位线定理 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 推论：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边． 中线定理 三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍．[来源:学科网] 三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 射影定理 射影定理（欧几里得定理）内容为：在任何一个直角三角形中，作出斜边上的高，则斜边上的高的平方等于高所在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积． 几何语言：若△ABC满足ACB=90°，作CDAB，则CD^2=AD×BD 射影定理的拓展：若△ABC满足ACB=90°，作CDAB， (1)=AD·AB (2)=BD·AB (3)ACBC=ABCD 证明：射影定理可以由圆幂定理推出，拓展（3）可由前三式推出，也可以用等面积法证明 正弦定理 内容：在任何一个三角形中，每个角的正弦与对边之比等于三角形面积的两倍与三边边长和的乘积之比 几何语言：在△ABC中，sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三角形/abc 结合三角形面积公式，可以变形为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R是外接圆半径） 余弦定理 内容：在任何一个三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边的2倍乘以它们夹角的余弦 几何语言：在△ABC中，a2=b2+c2-2bc×cosA 此定理可以变形为：cosA=（b2+c2-a2）÷2bc 三角函数[来源:学科网ZX