夫琅禾费衍射的线性变换计算.pdf

夫琅禾费衍射的线性变换计算 张文玉，戴又善 (浙江大学 城市学院，浙江 杭州 310015) 摘要：夫琅禾费衍射在二维小孔的线性变换下具有简单的变换特性，利用线性变换的方法简便求得了位于坐标系中任何 位置 的任意三角形小孑L和任意平行 四边形小孔夫琅禾费衍射复振幅的一般解析表达式，从而提供 了一种普遍的方法 ，无需通 过积分计算而仅 由代数运算来求得任意多边形小孔夫琅禾费衍射光强分布的解析表达式．作为应用例子讨论了正六边形小孔 夫琅禾费衍射的光强分布，并依据所得解析结果进行了计算机模拟． 关键词：夫琅禾费衍射；线性变换；三角形小孔；平行四边形小孔；正六边形小孔 中图分类号 ：0436．1 文献标识码 ：A 文章编号：1000—0712(2016)07—0047．09 二维小孔 的衍射 问题通 常是基于基尔霍夫 而其衍射振幅的公式将更为简单)．虽然计算给 衍射公式来讨论 ¨，但基尔霍夫衍射公式 的数学 定 的三角形小孑L和平行 四边形小孔 的衍射振幅 运算 比较复杂，在讨论具体 问题时也常需做各种 并不太难 ，但分解多边形小孔则需要确定任何位 计算近似 ，这导致对许多典型小孔 的衍射通常并 置和任意形状 的三角形小孑L和平行 四边形小孔 ， 不能给 出简 明的解析结果 而是求助于近似数值 因此研究任意三角形小孔和任意平行 四边形小 计算 ’．由于夫琅禾费衍射是一种远场衍射 ，其 孔的衍射就构成 了研究一般多边形小孔衍射 的 入射光和衍射光都为平行光 ，这使得夫琅禾费衍 基础 ．利用二维小孔在线性变换下夫琅禾费衍射 射既能反映 出衍射 的一些基本特征 ，又具有特殊 振幅的变换特性 ，则无需再进行具体积分运算就 的简单性．研究夫琅禾费衍射的复振幅 (以下简 可求得变换后相应小孔夫琅禾费衍射 的振幅和 称振幅)和光强分布通常需要进行二维复积分计 光强分布 ．为此本文首先计算 了一个最简单基本 算 ，特别是对于复杂几何图形 的小孔衍射 ，计算 的等腰直角三角形小孔 的夫琅禾费衍射 ，然后通 将变得更为冗长 ．而利用小孔 的几何对称性来讨 过对该小孔的适当线性变换 ，简便求得 了位于坐 论二维小孔夫琅禾费衍射 问题将可 以极大 的简 标系中任何位置 的任意三角形小孔的夫琅禾费 化计算 ，对此我们在先前文献 中已讨论过小孔 的 衍射振幅公式 ；另外通过计算一个最简单基本的 某些对称变换特性 ’．本文则将进一步通过一 正方形小孔的夫琅禾费衍射，同样通过对该正方 般线性变换 的方法 ，利用统一 的线性变换矩 阵来 形小孔的适当线性变换 ，简便求得 了位于坐标系 讨论小孑L的几何对称变换 ，从而可 以在避开复杂 中任何位置 的任意平行 四边形小孔 的夫琅禾费 的基尔霍夫衍射公式计算 的情况下 ，提供一种无 衍射振幅公式．需要指 出的是 由于衍射振幅中三 需积分计算而仅通过代数运算来解析求得各种 角函数 的表达形式并不是唯一 的，采用不 同的积 二维 小 孔 夫 琅 禾 费 衍 射 振 幅 和 光 强 分 布 的 分过程得到 的衍射振幅在表达形式上也将是不 普遍方 法． 相 同的，但通过选取适 当线性变换 的方法能够非 任何 由直线构成的几何小孔都可 以分解 为 常简便地寻求 到衍射振幅最简单 的解析表达形 若干个三角形小孔 ，或者分解为若干个三角形小 式 ，从而利用本文提供的小孑L线性变换的方法和 孔和平行四边形小孔的组合 (平行四边形小孔和 计算结果 ，原则上无需再进行