[工学]2 弹性力学 平面问题的基本理论.ppt

第二章 平面问题基本理论 本章重点 1.两类平面问题的定义。 2.在平面区域内的平衡微分方程、几何方程和物理方程的建立。 3.在平面边界上的位移和应力边界条件的建立及圣维南原理的应用。 4.关于一点应力状态的分析。 5.按位移求解方法和按应力求解方法的一般过程。 6.常体力求解平面问题的简化方法。 第二章 平面问题基本理论 2.1.1平面应力问题 1.定义 设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面且不沿厚度变化的面力和体力；以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任意一直线为z轴；只有平行于xy面的三个应力分量 ，其他应力分量为零，且这三个应力分量和形变分量与位移分量不沿厚度变化，只是x，y的函数，这样的问题称为平面应力问题。 第二章 平面问题基本理论 3.z轴方向有关参量关系 1.由于 时的板面上无外力作用，则边界条件成为: 2.由于板很薄，外力又不沿厚度变化，则板内各点的以上三个应力分量都极小，可以认为小到零的程度，即： 第二章 平面问题基本理论 2.1.2平面应变问题 1.定义 设有很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力和体力；以任意横截面为xy面，任意纵线为z轴，则所有形变分量和位移分量都不沿z轴变化，只是x，y的函数；在此条件下，横截面内所有各点只会沿x和y方向移动，而不会有z方向的位移，这种问题称为平面位移问题，习惯上称为平面应变问题。 例如厚壁圆筒、高压管道、水坝等就属于此类。 第二章 平面问题基本理论 3.z轴方向的有关参量关系 由于z轴方向很长，一般认为 从而可推导出 根据胡克定律 第二章 平面问题基本理论 2.2 平衡微分方程 1.平衡微分方程的推导 （1）建立坐标系 在薄板或柱形体中任取一正平行六面体微元（点P），它在x和y方向的尺寸分别为dx和dy，z方向为一个单位长度，即为1. 第二章 平面问题基本理论 （2）注意 1）在正负 x， y面上，应考虑到由于坐标增量而引起的应力的增量； 2）在推导任何基本方程时，通常都以正的物理量来表示，这样可以避免带负号物理量的运算。因此，图 2-3中的体力、应力都以正方向、正号表示； 3）在列平衡方程时应力和体力应分别乘以其面积和体积，才能得出其合力； 4）在导出平衡微分方程时，应用了两个基本假定：一是连续性假定；二是小变形假定。 第二章 平面问题基本理论 （3）列方程 当弹性体平衡时，P点的平衡就以微元体平衡表示。于是有三个平衡方程： 1）证明剪力互等 根据力矩方程 则有： 化简，略去高阶项，可得剪力互等 第二章 平面问题基本理论 2）平衡微分方程 （纳维叶方程 ） 以x轴为投影轴，列出投影平衡方程 ，则有： 同理可列出 。 两个投影方程化简后成为 ： 第二章 平面问题基本理论 2.对于上述平衡微分方程，说明几点 （1）平衡微分方程表示任一点（x，y）的平衡条件，（x，y）属于平面域 A，所以也代表 A 中所有点的平衡条件。 （2）平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连续性和小变形假定。 （3）对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微分方程相同。 （4）由于 ，以后只作为一个独立未知函数处理。因此，2个独立的平衡微分方程（2-2）中含有 3个应力未知函数。 第二章 平面问题基本理论 2.3平面问题中一点的应力状态 1.建模 设x，y坐标面上一点P的应力分量为 如图2-4a所示。在校核强度条件时，还需要求出通过此点的任一斜面上的应力。在P点附近取一个平面AB，它平行于该斜面，并与经过P点而垂直于x轴和y轴的两个平面划出一个微小的三棱柱PAB，图2-4b。当面积AB无限减小而趋于P点时，平面AB上的应力就是P点在上述斜面上的应力。现设斜面上的全应力p可以分解为沿坐标向的分量 ，或沿法向和切向的分量 ，如图 2-4b所示。 第二章 平面问题基本理论 第二章 平面问题基本理论 2.求斜面应力分量 设斜面AB的长度为 ，则PB面及PA面的面积分别为 ，而PAB的体积为 ，通过三角形微分体的平衡条件 ，可得： 化简可得： 第二章 平面问题基本理论 3.斜面上的正应力和切应力 计算 在法向和切向的投影，便得斜面上的正应力和切