[2018年最新整理]10级数学史作业题.doc

第一章 思考题 1、试用算筹计算法写出数：5，792，67，257，8975，32967，12045 2、在以5为基的定位数系中，以a,b,c,d,e分别表示数0，1，2，3，4，试用此计数法写出数：420，134，212，33. 3、在以5为基的简单分群数系中以A,B,C,D分布表示1，5，52，53，试用此计数法表示数：120，242，24，33。 4、在以10为基的乘法分群数系中，以a,b,c,d,e,f,g,h,m分别表示1，2，3，4，5，6，7，8，9，以A,B,C,D分别表示10，102，103，104，试用此计数法表示数：78，575，62729. 5、巴比伦人在三千多年写在泥版上的算术题： 6、兄弟分100两银子，一个人比一个人多，只知道每一级相差的数量都一样，但究竟是多少不知道，现在第八个兄弟分到6两银子，问一级相差是多少？ 7、来自《莱茵特纸草书》中的算术题：一位数学家问一个赶着70头家畜的牧人：“你赶的这些家畜占你的全部家畜的多少？”牧人回答：“我赶来的家畜占全部家畜的1/3的2/3。”你知道他家有多少头家畜吗？ 8、和古巴比伦人一样，玛雅人使用的是20进制的定位数系。根据右图的符号表示数：36,912 第二章 思考题 1、在《几何原本》中，欧几里德证明了等腰三角形的两底角的角平分线、中线和高线相等，反过来一个三角形若有两个角的中线、高相等，则这个三角形是等腰三角形，但没有关于角平分线的结论，即“一个三角形若有两个角的平分线相等，则这个三角形是等腰三角形。”这个结论成立吗？若成立请证明。 2、帕波斯在《数学汇编》中把勾股定理推广到了任意三角形：设ABC是任意三角形，CAOE和CBFG是在两边CA和CB外侧所画的任意两个平行四边形，设DE和FG相交于点H，作AL和BM与HC平行且相等，这时平行四边形ABML的面积等于平行四边形CADE和CBFG的面积之和。请证明，你能把它推广到空间吗？ 3、帕波斯在《数学汇编》中给出了著名的帕波斯定理（也叫中线定理）：设△ABC的BC边的中点为P，则 你能证明这个结论吗？若P不是中点，而是将BC分为m：n，则可推广为斯特尔特定理(1753—1823年，英国哲学家、数学家，爱丁堡大学数学教授)： 你还能不能证明这一个结论呢？ 4、阿基米德牛群问题（选自《阿基米德文集》，据说阿基米德当时是将此题献给他的挚友、数学家、天文学家埃拉脱色尼的：有一群牛分别由白、黑、褐、花四种颜色组成，白色公牛是黑色公牛的（）再加上褐色公牛数；黑色公牛是花色公牛的（）再加上褐色公牛数；花色公牛是白色公牛的（）再加上褐色公牛数；白色母牛是黑色牛的（）；黑色母牛是花色牛的（）；花色母牛是褐色牛的（）；；褐色母牛是白色牛的（）；问各种颜色的公牛和母牛各有多少头？ 5、奇数列分组问题是古希腊数学家尼科马克（约公元一世纪）的《算术入门》一书中的一个著名算题，问题的现代形式是：“立方数相继等于奇数列相应各数之和。”例如，，，……,你知道? 吗？能证明你得到的这个结果吗？ 6、梅内劳斯是古希腊著名的数学家和天文学家，梅内劳斯在他的球面几何学的著作《球论》中给出了著名的梅内劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB（或它们的延长线）和一条不经过任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R，则 你能证明这个定理吗？这个定理的逆命题成立吗？如果成立，叙述出来并请证明，举一个能应用此定理的例子。 7、勾股定理的证明方法有很多种，除了我们已经讲到的证明方法外，你还知道其他的证明方法吗？ 8、将勾股定理推广到钝角的情形又是怎样的？ 9、证明托勒密定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 . 托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆，请证明。 证明托勒密定理的推广：任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号 思考题 1、花拉子密遗嘱：花拉子密立遗嘱时，他的妻子正怀着他们的第一胎小孩。“如果我亲爱的妻子给我生个儿子，我的儿子将继承三分之二的遗产，我的妻子将得三分之一；如果是生女儿，我的妻子将继承三分之二 的遗产，我的女儿将得三分之一。”而不幸的是，在孩子出生前，这位数学家就去世了。之后，他的妻子给他生了一对龙凤胎。 如何遵照数学家的遗嘱，将遗产分给他的妻子、儿子、女儿呢？ 2、以印度数学家婆罗笈摩多命名的定理可以叙述如下：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线的交点E的垂线垂直于CD。你能证明这个定理吗？这个定理的逆命题成立吗？如果成立，你能证明吗？你能举出一个应用这个定理的例子吗？ 3、来自《巴克沙利手稿》中的