第二课时与正射影和三垂线定理 .ppt

课前自主学习 随堂即时巩固 规律方法总结 课时活页训练 上页 下页 课堂互动讲练 思维误区警示 第九章 直线、平面、简单几何体 第二课时　正射影和三垂线定理 课标研读 1．理解点、斜线、斜线段在平面上的射影，图形在平面上的射影等概念；掌握三垂线定理及其逆定理，并能灵活应用． 2．重点是三垂线定理及其逆定理，难点是非标准位置的三垂线定理及其逆定理的应用． 课前自主学习 温故夯基 1．直线a⊥平面α的判定定理为m∩n＝O，m?α，n?α，a⊥m，a⊥n?a⊥α. 2．若a∥b，a⊥α，则______ 3．若a⊥α，b⊥α，则_______ b⊥α. a∥b. 知新益能 1．过一点向平面引_____，_____叫做这个点在这个平面内的射影．这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的__________ 2．一条直线和一个平面____，但不和这个平面____时，这条直线就叫做这个平面的____，斜线和平面的交点叫_______从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的________ 垂线 垂足 垂线段． 相交 垂直 斜线 斜足． 斜线段． 3．在_______的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的_____垂直，那么它也和这条____垂直；反之，如果和这个平面的一条____垂直，那么它也和这条斜线的______垂直． 平面内 射影 射影 斜线 斜线 问题探究 1．从平面外同一点出发的斜线段在该平面内的射影长受斜线段长的影响吗？ 提示：受影响．相等的斜线段的射影也相等，较长的斜线段的射影也较长，反之射影相等的斜线段相等，射影较长的斜线段也较长． 2．“三垂线定理”及“逆定理”中“平面内”这个条件能否省略？ 提示：两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立，需要进一步证明．这是因为：由三垂线定理及其逆定理的证明过程可知，只有平面内的直线若能满足和斜线的射影垂直，才能保证和斜线与垂线所在平面垂直，只有线面垂直才能保证线线垂直． 题型一 图形在某个平面上的射影 课堂互动讲练 图形在某个平面上的投影就是从图形上每个点向平面引垂线，垂足点所形成的图形．一般是找图形各顶点的射影点． 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为正方体的中心，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是__________．(要求：把可能的图的序号都填上) 【思路点拨】　找图形边界点的投影点，再连线． 例1 【解析】　由于A、C在下底面上的射影是它们各自本身，P在下底面上的射影是AC中点，故△PAC在下底面上的射影是下底面对 角线AC.因此，图①是可能的， 且△PAC在上底面上的射影是 上底面对角线A1C1也是图①的 情形；而A在侧面BC1上的射影是B，P在侧面BC1上的射影是侧面BC1的中心，故图④也是可能的．同理，可知△PAC在其他三个侧面上的射影也都是图④的情形，于是图②、③是不可能的．因此，所有可能的情形是图①、图④. 【答案】　①④ 【名师点评】　本题侧重于考查数学语言向图形语言的转化，并根据这两种语言提供的信息展开空间想象，去伪存真，它对于空间想象能力和思维判断能力有着较高的要求，是近几年高考题型改革较为成功的一种题型． 题型二 三垂线定理及逆定理的应用 三垂线定理及其逆定理主要用来证明线线垂直时省去其中线面垂直的过程． 从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知共面直线垂直、证明异面直线垂直的问题，逆定理相反． 利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图形中找出“平面的垂线”“平面的斜线”“斜线的射影”． (2010年高考陕西卷改编)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2 ，E、F分别是AD、PC的中点． 证明：PC⊥平面BEF. 【思路点拨】　结合量的计算寻找PC⊥BF、PC⊥BE. 例2 【证明】　∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥AB， PA＝AB＝2 ∴PB＝2 . ∴PB＝BC. 又∵F为PC的中点， ∴BF⊥PC. 连结AC.设AC∩BE＝G， AC为PC在平面ABCD上的射影． 【思维总结】　运用三垂线定理及逆定理，其关键是准确识别或作出构成定理的五个元素． 在本例中，求证：BC⊥PB、CD⊥PD. 证明：PA⊥面ABCD. AB为PB在面ABCD上的射影， BC?面ABCD且BC⊥AB， ∴BC⊥PB， 同理可证CD⊥PD. 互动探究 题型三 点到平面的距离 平面外一点向平面引垂线，这点与垂足之间的长度是这点到平面的距离，一般转化为直角三角形的直角边来求． 已知P为△ABC外一点，PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a，求点P到平面ABC的距离． 【