四章环与域.ppt

第四章 环与域 第一节 环的定义 第二节 环的零因子和特征 第三节 除环和域 第四节 环的同态与同构 是循环环 到整数环 的子环 的一个同构映射,因此 . 在加群 中的阶有限,而且是 以上的对应法则 是 阶循环环到模剩余类环 的子环 如果 此时 则 .且易知 的一个同构映射. 因此 .这就是说, 阶循环环 可同构 嵌入到模 剩余类环 中.即在同构意义下 是 的子环. 例3 的子环 与 的子环 都是3阶循环环,但它们不同构. 的加群都是3阶循环群,当然同构. 之下必有 但作为环它们不同构:因若不然,设有同构 证 ,则 与 在 或 从而均有 ,矛盾. 第六节 理想 ★ 理想的概念及其性质 ★ 主理想 一 理想的概念及其性质 定义1 设 是环 的一个子加群,即对 的一个左理想; ,则称 是 的一个 既是环 的左理想又是右理想,则称 的一个双边理想,或简称为理想,并用符号 表示.否则记为 是 任意元素 ,差 仍属于 .如果又有 , 则称 如果 中 右理想; 如果 是 . 例1 令 为域 上的2阶全阵环,并设 则易知 是环 的一个左理想(但不是双边理想), 是 的一个右理想(也不是双边理想). 而 另外易知 又是环 的一个双 边理想,但它却不是全阵环 的左理想也不是右 理想. 例2 令 是多项式环 为零的全体多项式作成的集合,则易知 是 个理想. 是一个域, 中常数项 的一 例3 令 为任一域,又令 则易知 ,但是 .因此,同正规子群情况 \ 类似,理想的理想不一定是原环的理想,亦即理想 也不具有传递性. 对任意环 ,如果 ,则至少有两个理想: ,称之为 的平凡理想.其它的理想如果还有 的话就称为真理想. 是循环环 的 是 的一个子加群(子环). 一个理想,当且仅当 定理1 定义2 只有平凡理想的非零环称为单环. 证 理想当然是子加群.反之,设 是循环环 的一个子加群,则对任意 ,令 其中 为整数.则 又因循环环是可换环,故 定理2 除环和域只有平凡理想,即它们是单环. 证 设 是除环 的任意一个理想.如果 ,在 中任取 ,则 ,于是 从而对 中任意元素 ,有 故 .即 只有平凡理想,因此 是单环. 定理3 设 是一个阶大于1的环,并且除平凡理 有单位元时, 为除 无单位元时, 是素阶零乘环. 想外无其它左或右理想.则当 环;当 证 设 除 和 外无其他左理想.在 元素 ,则显然 中任取 是 的一个左理想. 有单位元时, ,从而 .于是 当 .这表明方程 在 除环. 中有解,因此 是 无单位元时,则由§3定理3知:总存在元素 .于是 ,而且 是环 的一个左理想,也是一个循环零乘环.故 再由假设可知, 只能是一个素阶零乘环. 当 使 当 除 和 外无其他右理想时,同理可证. 推论1 阶大于1的可换单环必为域或素阶零乘环. 定理4 设 是一个有单位元的环, ,则存在 惟一的 使 证 令 为由 中一切 阶方阵的所有元素作成 的集合. 下证: 用 表示 元素是1而其余元素全 阶方阵.则易知 是0的 (1) 而且 上每个 阶方阵都可由这 个方阵 线性 ,则在 中存在方阵 使 从而根据(1)和(2)以及 可得 表示.任取 (2) 因此 再任取 ,则由于 而 ,故 从而 .因此 ,并且 反之,任取 ,并令 再任意取定 ,则在 中有方阵 于是,由于 ,故 . 从而由(3) .于是 可知 设另有 使 .则对任意 有 .于是 ,从而 理有 .因此 同 (3) 推论2 设 是一个有单位元的环,且 .则 是单环 全阵环 是单环. 证 若 是单环,则由定理4直接可知, 是单 是单环且 ,则由矩阵乘法易知: 环.反之,设 从而只有 或 .于是由定 或 .即 是单环. 惟一性可知 理4中的 定理4 若环 有单位元,则单位元在加群 中的阶就是的特征. 证 若单位元1在 中的阶无限,则 的特征 当然无限;若1的阶是正整数 ,则在 中任取 有 .即 是 中非零元素的最大阶, 亦即 定理5 若环 是交换环,特征是素数 ,则对 中任意元素 有 . 证 因为将 展开后除去项 外,其余各项的系数都是 的倍数,而 是 的特征,其余项都是零,结论得证. 定义4 设 是一个阶大于1且特征是素数 的环,如果对 中任意元素 都有 ,则称 是一个 环. 定理6 环是交换环. 定义5 设 是环 的一个非空子集.如果 中元素 中任何元素 ,即对 都有 ,则称 是 的一个左零化子,并简 记为 . 右零化子可类似定义. 左或右零化子统称为零化子. 使 第三节 除环和域 ★ 除环与域的概念与性质 ★ 子除环与子域的判定 定义1 设 是一个环,如果 ,又 有单位元且每个非零元素都有逆元,则称是 一 除环与域的