半群与群环与域.ppt

第一张，课件共三十九张，编辑于2022年5月 13.1 半群和独异点的定义及性质 定义13.1.1 给定S，⊙，若⊙满足结合律，则称S，⊙为半群。即对S中的任意元素x,y,z，有 (x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z)。 可见，半群就是由集合及其上定义的一个可结合的二元运算组成的代数结构。 第二张，课件共三十九张，编辑于2022年5月 定义13.1.2 给定M，○，若M，○是半群且○有幺元，换句话说，若○满足结合律且拥有幺元，则称M，○为独异点。 可以看出，独异点是含有幺元的半群。因此有些著作者将独异点叫做含幺半群。有时为了强调幺元e，独异点表示为M，○，e。 第三张，课件共三十九张，编辑于2022年5月 例13.1.1 给定N，+和N，×，其中N为自然数集合，+和×为普通加法和乘法。由普通加法和乘法满足封闭性和结合律易知，N，+和N，×都是半群，而且还是独异点。因为0是+的幺元，1是×的幺元。 第四张，课件共三十九张，编辑于2022年5月 例 由有限字母表Σ所组成的字母串集合Σ*与并置运算∥所构成的代数结构Σ*，∥是个独异点。 因为首先它满足结合律，例如 ab//(cd//ef ) = (ab//cd)//ef = abcdef. 其次，它有一个幺元——?，使得对Σ*内任意一元素A，有 ?//A=A//?=A. 故Σ*，∥是个独异点。 显然，我们令∑+＝ ∑*－{?}，则∑+，//是一个半群。 第五张，课件共三十九张，编辑于2022年5月 关于独异点，有下面二个性质： 定理13.1.5 设M，○，e为独异点，则关于○的运算表中任两列或任两行均不相同。 证明：对任意a,b∈M，且a≠b，有 ea＝a≠b＝eb 和 ae＝a≠b＝be 即在○的运算表中任两列或任两行均不相同。 注意：这个定理对半群不一定成立，这个定理的成立完全是由于幺元的存在。 第六张，课件共三十九张，编辑于2022年5月 定理13.1.6 给定独异点M，○，e，对任意a，b∈M且a，b均有逆元，则 (1) (a-1)-1=a。 (2) a○b有逆元，且(a○b)-1=b-1○a-1。 证明：(1)因为a-1是a的逆元，即 a○a-1=a-1○a=e，故(a-1)-1=a。 (2)因为(a○b)○(b-1○a-1)=a○(b○b-1)○a-1= a○e○a-1= a○a-1=e，同理 (b-1○a-1)○(a○b) =e， 故(a○b)-1=b-1○a-1。 第七张，课件共三十九张，编辑于2022年5月 定义 如果半群S，⊙中的集合S是有限的，则称半群为有限半群。有限半群有下面有趣的定理： 定理13.1.1 S，⊙为有限半群，则(?x)(x∈S∧x⊙x=x)。 此定理告诉我们，有限半群存在等幂元。 顺便强调，半群中的a的n(n∈Z+)次幂的定义与前面代数结构中的定义一样，为 第八张，课件共三十九张，编辑于2022年5月 定义13.1.3 给定半群S，⊙，若⊙是可交换的，则称S，⊙是可交换半群。类似地可定义可交换独异点M，○，e。 例13.1.2 给定P(S)，∪和P(S)，∩，其中P(S)是集合S的幂集，∩和∪为集合上的并与交运算。可知P(S)，∪和P(S)，∩都是可交换半群。不仅如此，它们还都是可交换独异点，因为?与S分别是它们的幺元。 第九张，课件共三十九张，编辑于2022年5月 定义13.1.4 给定半群S，⊙和g∈S，以及自然数集合N，则称g是半群S，⊙的生成元:= (?x)(x∈S→ (?n)(n∈N∧x=gn)) 。此时也称元素g生成半群S，⊙ ，而且称此半群为循环半群。 类似地可定义独异点M，○，e的生成元g和循环独异点，并且规定g0=e。 对于循环独异点，有下面的性质： 第十张，课件共三十九张，编辑于2022年5月 定理13.1.2 每个循环独异点都是可交换的。 证明：设M，⊙，e为独异点且g为其生成元，则对任意a,b∈M，存在m,n∈N，使得 a=gm,b=gn，(注意gm=g⊙g⊙…⊙g，有m个g) 从而有 a⊙b=gm ⊙gn =gm+n =gn+m = gn ⊙gm =b⊙a。 故⊙是可交换的，从而循环独异点M，⊙，e是可交换的。 显然，每个循环半群也是可交换的。 第十一张，课件共三十九张，编辑于2022年5月 例13.1.3 给定N,+，其中N为自然数，+为普通加法，则N,+是无穷循环独异点。 证明：易知，N,+为无穷半群，且幺元为0。下证，N,+为循环半群。关键是找到它的生成元。事实上，易知，1为其生成元。因为对任意m∈N，存在m∈N，使得 m=1+1+…+1(m个1)=1m, 故1为N,+的生成元。从而N,+是无穷循环独异点。 N,+的确是可交换的。 第十二张，课件共三十九张，编辑于20