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精算师必考题含答案2024

选择题

1.已知随机变量\(X\)服从参数为\(\lambda=2\)的泊松分布，则\(P(X=3)\)的值为（）

A.\(\frac{2^3e^{-2}}{3!}\)

B.\(\frac{3^2e^{-3}}{2!}\)

C.\(\frac{2^3e^{-3}}{3!}\)

D.\(\frac{3^2e^{-2}}{2!}\)

答案：A。根据泊松分布的概率质量函数\(P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\)，当\(\lambda=2\)，\(k=3\)时，\(P(X=3)=\frac{2^3e^{-2}}{3!}\)。

2.设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自正态总体\(N(\mu,\sigma^2)\)的简单随机样本，\(\overline{X}\)是样本均值，\(S^2\)是样本方差，则下面结论正确的是（）

A.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\simt(n-1)\)

B.\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)

C.\(\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\simN(0,1)\)

D.\(\frac{S^2}{\sigma^2}\simF(n-1,n-1)\)

答案：B。由抽样分布的知识可知，若\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自正态总体\(N(\mu,\sigma^2)\)的简单随机样本，则\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)。

3.某保险公司承保的某类风险的损失额\(X\)服从指数分布，其概率密度函数为\(f(x)=\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},x\gt0\)，已知\(E(X)=5\)，则\(P(X\gt10)\)的值为（）

A.\(e^{-2}\)

B.\(1-e^{-2}\)

C.\(e^{-0.5}\)

D.\(1-e^{-0.5}\)

答案：A。因为指数分布的期望\(E(X)=\theta\)，已知\(E(X)=5\)，所以\(\theta=5\)。\(P(X\gt10)=\int_{10}^{+\infty}\frac{1}{5}e^{-\frac{x}{5}}dx=-e^{-\frac{x}{5}}\big|_{10}^{+\infty}=e^{-2}\)。

4.若利率\(i=0.05\)，则\(10\)年末的\(1000\)元在第\(5\)年末的现值为（）

A.\(1000(1+0.05)^{-5}\)

B.\(1000(1+0.05)^{5}\)

C.\(1000(1+0.05)^{-10}\)

D.\(1000(1+0.05)^{10}\)

答案：A。根据现值公式\(PV=FV(1+i)^{-n}\)，其中\(FV=1000\)，\(i=0.05\)，\(n=5\)，所以\(10\)年末的\(1000\)元在第\(5\)年末的现值为\(1000(1+0.05)^{-5}\)。

5.已知一组数据\(2,4,6,8,10\)，则这组数据的标准差为（）

A.\(\sqrt{8}\)

B.\(\sqrt{10}\)

C.\(\sqrt{12}\)

D.\(\sqrt{14}\)

答案：A。首先求均值\(\overline{x}=\frac{2+4+6+8+10}{5}=6\)，然后根据标准差公式\(s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n}}\)，\((2-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2=16+4+0+4+16=40\)，\(s=\sqrt{\frac{40}{5}}=\sqrt{8}\)。

6.某保险产品的赔付额\(X\)满足：当损失小于等于\(100\)时，赔付损失的\(80\%\)；当损失大于\(100\)时，赔付\(80\)。若损失额\(Y\)服从\([0,200]\)上的均匀分布，则该保险产品的赔付额\(X\)的期望为（）

A.\(32\)

B.\(40\)

C.\(48\)

D.\(56\)

答案：C。

当\(0\leqY\leq100\)时，\(X=0.8Y\)；当\(100\ltY\leq200\)时，\(X=80\)。

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