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最优化实验的两个案例 　 1?????? 实验案例 1.1?????????? 高速公路问题(简化) A城和B城之间准备建一条高速公路，B城位于A城正南20公里和正东30公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。公路造价与地形特点有关，图4.2.4给出了整个地区的大致地貌情况，显示可分为三条沿东西方向的地形带。 你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上每公里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜。而路径ARSB过山地的路段最短，但是否是最好的路径呢？ ? A ? ? ????????????????????????? ? ? ? ????????????????????????????????????? ?????B 图8.2? 高速公路修建地段 1.1.1??????? 问题分析 在建设高速公路时，总是希望建造费用最小。如果要建造的起点、终点在同一地貌中，那么最佳路线则是两点间连接的线段，这样费用则最省。因此本问题是一个典型的最优化问题，以建造费用最小为目标，需要做出的决策则是确定在各个地貌交界处的汇合点。 1.1.2??????? 变量说明 ：在第i个汇合点上的横坐标（以左下角为直角坐标原点），i＝1，2，…，4；x5＝30（指目的地B点的横坐标） x=[x1，x2，x3，x4]T ? li ：第i段南北方向的长度（i＝1，2，…，5） Si：在第i段上地所建公路的长度（i＝1，2，…，5） 由问题分析可知， 　 　 C1/公里） C2：高地每公里的造价（单位：万元/公里） C3：高山每公里的造价（单位：万元/公里） 1.1.3??????? 模型假设 1、? 2、? 1.1.4??????? 模型建立 在A城与B城之间建造一条高速公路的问题可以转化为下面的非线性规划模型。优化目标是在A城与B城之间建造高速公路的费用。 1.1.5??????? 模型求解 这里采用Matlab编程求解。 模型求解时，分别取Ci(i=1,2,3)如下。 平原每公里的造价C1＝400万元/公里； 高地每公里的造价C2＝800万元/公里； 高山每公里的造价C3＝1200万元/公里。 输入主程序model_p97.m，运行结果如下： model_p97 optans = ? 2.2584e+004 len = ?? 38.9350 ans = ?? 12.1731?? 14.3323?? 15.6677?? 17.8269 求解程序见附录。 注：实际建模时必须查找资料来确定参数或者题目给定有数据） 6.模型结果及分析 通过求解可知，为了使得建造费用最小。建造地点的选择宜采取下列结果。 x1=12.1731，x2=14.3233，x3=15.6677，x4=17.8269 建造总费用为2.2584亿元。 总长度为38.9350公里。 ? 1.1.6??????? 求解模型的程序 （1）求解主程序 model_p97 function? x=model_p97??????? %数学建模教材? P97 高速公路 clear all global C L C=[400? 800? 1200]; L=[4 4 4 4 4]; x=fmincon(objfun_97,[1,1,1,1],[],[],[],[],zeros(1,4),ones(1,4)*30,mycon_p97); optans=objfun_97(x) C=ones(3,1); len = objfun_97(x) ? （2）模型中描述目标函数的Matlab程序objfun_97.m function obj=objfun_97(x) global C L obj=C(1)*sqrt(L(1)^2+x(1)^2) + C(2)*sqrt(L(2)^2+(x(2)-x(1))^2) + ... ?? C(3)*sqrt(L(3)^2+(x(3)-x(2))^2) + ... C(2)*sqrt(L(4)^2+(x(4)-x(3))^2)+C(1)*sqrt(L(5)^2+(...30-x(4))^2); （3）模型中描述约束条件的Matlab函数mycon_p97.m function [c,ceq]=mycon_p97(x) c(1)=x(1)-x(2); c(2)=x(2)-x(3); c(3)=x(3)-x(4); c(4)=x(4)-30; ceq=[]; ? 　 1?????? 实验案例 ? 问题侧重于线性规划和非线性规划方面的优化问题。 从这里的建模实例可以建立数学模型是最为关键和困难的一步，当看到这里建立起来的模型后，你会顿然觉得问题变得如此简单。因此，从这些实例中希望大家能够掌握建模方法，也不