章4 最优化方法.ppt

为了计算yopt，需要在重心处作一次实验。如图4.10所示，由点w， 和R三处系统的响应可以拟合一二次曲线。yopt的计算为： (4.8) 新顶点O的坐标计算运用下式： (4.9) 图4.10 在超改良单纯形中yopt的二次曲线拟合 w, , r分别为最坏点、重心和反射点处的响应 但是，如图4.11所示，由式(4.8)计算出yopt来表示某一Y值而并不能使系统的响应达到极大。为了避免此种情况发生，则必须保证 。 另外，由于yopt的取值未作限制，则有可能由于响应的很小变化而致使单纯形作较大移动。为了避免此点，则通常将yopt的最小值设置为-1，最大值设置为3，以约束单纯形的步长只能在一定范围“膨胀”。 图4.11 响应没有极大的二次曲线拟合 当yopt接近1时，新的最佳顶点(O)将在重心处定位。若在O点处的响应优于反射点，则O点将保留在单纯形中，由此导致单纯形失去沿某一方向移动的能力。如二因子单纯形，即将使B，O，N三角形变成一直线。特别是在优化过程的早期阶段要尽力避免此种情况的发生。与此相类似，yopt的值近于0时，则最佳顶点将定位在最坏点附近。为了避免如上两种情况，同在y=0和y=1处设置一安全界限，其值一般小于0.5，通常为0.1或0.3。图4.12所示为yopt的取值范围，其中阴影部分为禁区。 图4.12 超改良单纯形中yopt对取值的约束 如yopt=0.85，安全边界若为0.3，则yopt的值将由0.85调整到0.7。这种约束可使单纯形在寻优过程中保持对称性。在后期，可以取消在重心附近定位新顶点的约束，因为这时单纯形的退化已不重要，甚至可以用它作为停止寻优过程的一种判据。 图4.13 超改良单纯形的算法流程图 超改良单纯形的算法的流程示于图4.13，Parker[3]曾经比较过单纯形的算法，他指出，从理论上和实践上，超改良单纯形在较宽的起始条件范围内其收敛速度经常比其他方法为快。 Wiel[11]用高斯函数(图4.14)代替二次函数，在某些情况下，单纯形寻优的过程要更快些。高斯型yopt的计算为： (4.10) 图4.14 二因子超改良单纯形中yopt的高斯函树数拟合 同样，对yopt的约束条件为 ，因为只有在此约束条件下，才可以得到极大响应。对一些理论响应曲面比较的结果表明，高斯超改良单纯形比二次多项式超改良单纯形更为有效。 2. 超改良单纯形的边界约束 在超改良单纯形中对于越出边界的处理方法完全不同于改良单纯形，有下式： (4.11) 此处ya为边界y因子，Bj为变量j的边界值，如图4.15所示，只有当ya≥1.5时，方采用ya计算反射点。 图4.15 二因子超改良单纯形中反射点超越边界示例 若ya1.5，则y值以0.5代替。该项约束旨在使R， 和W顶点间保持一适当的空间。当反射顶点越界受到约束时，yopt的计算采用下式： (4.12) 此式的附加条件为：当ya1时， 必须大于 ；当ya≤1，并且ya≠0时， 必须小于 。若上述条件不能得以满足，则yopt不能够计算，此时将之赋值-1或3。 对于高斯型yopt，当反射顶点超越边界时，其计算公式为： (4.13) 此式的附加条件为：当ya1时， 必须大于 ；当ya≤1，并且ya≠0时， 必须小于 。若上述条件不能得以满足，则yopt不予计算而赋值以-1或3。 §4.2.5 超改良单纯形计算举例[13] 在本节中我们所给出的例子与上一节相同，即采用火焰原子吸收分光光度法(AAS)测定复杂有机样品中的铬。为了阅读上的方便，关于初始条件的选定，我们再重复作一介绍。 测定中有两个重要因素：(1) 空气-燃气的比率(AF)；(2) 燃烧器的高度(H)，标准溶液为5μg/ml，为了与样品相匹配，在标准溶液中加入相应的基体物质。 开始时取AF=5.000，H=1.000cm，步长为1.000。再根据Long所作的表，初始单纯形三个顶点的坐标为： 在初始单纯形的实验条件下，所得结果(即吸收值)示于表4.7。 的定义如前，即将单纯形中最坏点去掉之后所剩两点坐标加和的