离散数学与-耿素云PPT(第5版)2.1-2 .ppt

* 第2章 一阶逻辑 2.1 一阶逻辑基本概念 2.2 一阶逻辑合式公式及解释 2.3 一阶逻辑等值式与前束范式 * 2.1 一阶逻辑基本概念 个体词 谓词 量词 一阶逻辑中命题符号化 命题逻辑的局限性 苏格拉底三段论： 凡是人都要死的. 苏格拉底是人. 所以苏格拉底是要死的. 在命题逻辑中，只能用p、q、r表示以上3个命题， 上述推理可表成 (p∧q)→r 这不是重言式 * * 基本概念——个体词、谓词、量词 个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具 体或抽象的客体 个体常项：具体的事物，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成 * 基本概念 (续) 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 ???? 谓词常项：F(a)：a是人 ???? 谓词变项：F(x)：x具有性质F ???? 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n?2): 表示事物之间的关系 如 L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x?y，… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命 题变项 * 基本概念(续) 量词: 表示数量的词 ???? 全称量词?: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如 ?x 表示对个体域中所有的x 存在量词?: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如 ?x 表示在个体域中存在x * 一阶逻辑中命题符号化 例 用0元谓词将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶 逻辑中符号化 (1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设 p: 墨西哥位于南美洲 符号化为 p 在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲, 符号化为F(a) * 例(续) (2) ? 是无理数仅当 是有理数 在命题逻辑中, 设 p： 是无理数，q： 是有理数. 符号化为 p ? q 在一阶逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 在命题逻辑中, 设 p：23，q：34. 符号化为 p?q 在一阶逻辑中, 设 F(x,y)：xy，G(x,y)：xy, 符号化为 F(2,3)?G(3,4) (3) 如果23，则34 * 一阶逻辑中命题符号化(续) 例 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)?人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解： (a) (1) 设G(x): x爱美, 符号化为 ?x G(x) (2) 设G(x): x用左手写字, 符号化为 ?x G(x) (b) 设F(x): x为人，G(x): 同(a)中 (1) ?x (F(x)?G(x)) (2) ? x (F(x)?G(x)) 这是两个基本公式, 注意它们的使用 * 一阶逻辑中命题符号化(续) 例 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解 注意: 题目中没给个体域, 使用全总个体域? (1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): xy ?x(F(x)??y(G(y)?L(x,y))) 或 ?x?y(F(x)?G(y)?L(x,y)) 两者等值 (2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数, L(x,y)：xy ?x(F(x)??y(G(y)?L(x,y))) 或 ?x?y(F(x)?G(y)?L(x,y)) 两者等值 * 一阶逻辑中命题符号化(续) 几点注意： 1元谓词与多元谓词的区分 无特别要求,应使用全总个体域,引入特性谓词 量词顺序一般不能随便颠倒 两个基本形式?x (F(x)?G(x))和? x (F(x)?G(x)) 的使用 否定的表示，如 “没有不呼吸的人”等同于“所有的人都呼吸” “不