《矩阵及数值分析》课程数值实验大作业.doc
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2011级工科硕士研究生
《矩阵与数值分析》课程数值实验
班 级：
学 号：
姓 名：
任课教师：
大连理工大学
2011年12月20日
对于数列，有如下两种生成方式
1、首项为，递推公式为；
2、前两项为，递推公式为；
给出利用上述两种递推公式生成的序列的第50项。
【按第一种递推公式】
clear
clc
a=1;
for i=1:50-1
a=[a a(i)/3];
end
disp(数列第50项小数表达为：)
format long
disp(a(50))
disp(分数表达为：)
format rat
disp(a(50))
format short
[运行结果]
数列第50项小数表达为：
4.178866707295615e-024
分数表达为：
1/239299329230617530000000
【按第二种递推公式】
clear
clc
a=[1 1/3];
for i=2:50-1
a=[a 10/3*a(i)-a(i-1)];
end
format rat
disp(数列第50项为：)
disp(a(50))
format short
[运行结果]
数列第50项为：
2060436
【分析】
第一种算法数值稳定，计算过程舍入误差被严格控制，且按1/3的公差不断缩小。但第二种算法数值不稳定。另外，在第二种算法中，若将递推公式“a=[a 10/3*a(i)-a(i-1)]”中的分母移动位置，改写成“a=[a 10*a(i)/3-a(i-1)]”，则程序运行结果为-4966040，可以舍入误差被放大的十分严重。
利用迭代格式
及Aitken加速后的新迭代格式求方程在内的根
【未经加速的代码】
clc
eps=1e-15;
i=1;
x0=1;
format long
while i100
x1=sqrt(10/(x0+4));
if abs(x1-x0)=eps
break
end
x0=x1;
i=i+1;
end
disp(方程的解[精度10^(-15)])
disp(x1)
disp(未经加速的迭代次数)
disp(i)
[运行结果]
方程的解[精度10^(-15)]
1.36523001341410
未经加速的迭代次数
18
【经Aitken加速的代码】
clc
eps=1e-15;
i=1;
x0=1;
format long
while i100
x1=sqrt(10/(x0+4));
y=sqrt(10/(x1+4));
z=sqrt(10/(y+4));
x1=z-(z-y)^2/(z-2*y+x1);
if abs(x1-x0)=eps
break
end
x0=x1;
i=i+1;
end
disp(方程的解[精度10^(-15)])
disp(x1)
disp(未经加速的迭代次数)
disp(i)
[运行结果]
方程的解[精度10^(-15)]
1.36523001341410
未经加速的迭代次数
3
【分析】
Aitken加速能对数列｛xk｝起明显的加速作用，在要求相同方程解精度的条件下，它能将迭代次数显著降低。实际上，Aitken有时甚至能将发散的数列加速后变为收敛。
三、解线性方程组
1．分别Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组
迭代法计算停止的条件为：．
2. 用Gauss列主元消去法、QR方法求解如下方程组：
【1. Jacobi方法】
clc
i=1;
eps=1e-6;
A=[ 6 2 1 -2;
2 5 0 -2;
-2 0 8 5;
1 3 2 7];
b=[4 7 -1 0];
x0=zeros(4,1);
D=diag(diag(A));
L=-tril(A,-1);
U=-triu(A,1);
B=inv(D)*(L+U);
f=inv(D)*b;
while i100
x1=B*x0+f;
if norm(x1-x0)=eps
break
end
x0=x1;
i=i+1;
end
disp(方程的解[精度10^(-6)])
disp(x1)
disp(迭代次数)
disp(i)
[运行结果]
方程的解[精度10^(-6)]
0.05204951386229
1.1509433
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