【金版学案】2014-2015学年高中数学 2.5向量的应用检测试题 苏教版必修4.doc
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2.5 向量的应用
情景:在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.
思考:你能从数学的角度解释这种现象吗?
1.过点A(2 014,2 015)且垂直于a=(-1,1)的直线方程为________.
答案:x-y+1=0
2.设△ABC的顶点A(0,0),B(3,1),C(6,5),则重心G的坐标是________.
答案:(3,2)
3.如右图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2.则对角线AC长为________.
答案:
4.一只鹰正以水平向下30°角的方向飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上影子的速度是40米/秒,则鹰的飞行速率约为________(精确到个位).
答案:46米/秒
5.用两条成60°角的绳索拉一辆车.每条绳索上的拉力是12 N,则合力为________(精确到0.1 N).
答案:20.8 N
6.P为△ABC所在平面内一点,++=,则S△ABC∶S△PBC=________.
解析:由已知得:2=-.
∴P为AC的三等份点,∴S△ABC∶S△PBC=.
答案:
7.已知A(2,1)、B(3,2)、C(-1,4),则△ABC的形状是________.
答案:直角三角形
8.在△ABC中,若=a,=b,=c,且a·b=b·c=c·a,则△ABC的形状是________.
答案:等边三角形
9.已知非零向量与满足(+)·=0且·=,则△ABC的形状为________.
答案:等边三角形
10.已知一物体在共点力F1=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)的作用下产生位移S=(2lg 5,1),则共点力所做功W=________J.
解析:∵F1+F2=(lg 2,lg 2)+(lg 5,lg 2)=(1,2 lg 2).
∴ω=(F1+F2)·s=(1,2lg 2)·(2lg 5,1)
=2lg 5+2lg 2=2(J).
答案:2
11.两个粒子a、b从同一发射源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为va=(4,3),vb=(2,10).
(1)写出此时粒子b相对粒子a的位移v;
(2)计算v在va方向上的投影.
解析:(1)v=vb-va=(2,10)-(4,3)=(-2,7).
(2)|v|·cos〈v,va〉====.
12.已知直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相交于A、B两点,且AB=1,则·=________.
解析:∵圆x2+y2=1的半径为1,
AB=1,∴△AOB为正三角形,∴·=1×1×cos 60°=.
答案:
13.平面内A(2,1),B(1,2),O为坐标原点,=λ+μ,λ,μ∈R且λ+μ=1,则P点的轨迹方程是________________.
解析:设P(x,y),由λ+μ=1,∴A、B、P三点共线,故P点轨迹是一直线,方程是y-2=-(x-1),即x+y-3=0.
答案:x+y-3=0
14.已知m=(cos α,sin α),n=(cos β,sin β),且|m+n|=|m-n|,则tan α·tan β=________.
解析:∵|m+n|=|m-n|.
∴(m+n)2=(m-n)2.即:m·n=0.
∴cos αcos β+sin αsin β=0
?cos αcos β=-sin αsin β.
∵α,β∈.
∴tan α·tan β=-1.
答案:-1
15.在四边形ABCD中,·=0,且=,则四边形ABCD形状是________.
解析:=四边形ABCD为平行四边形,·=0AB⊥BC,故四边形ABCD为矩形.
答案:矩形
16.已知||=1,||=,·=0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设=m+n(m、n∈R),则等于________.
解析:||=1,||=,·=0,且∠AOC=30°.设A点坐标为(1,0),B点坐标为(0,),点C坐标为(x,y)且y=x,=m+n(m,n∈R),∴m=x,n=y=x,∴=3.
答案:3
17.如下图所示,设I是△ABC的内心,当AB=AC=5,且BC=6时,=λ+μ,则λ=____________,μ=________.
解析:设AI交BC于D点,∵AB=AC,∴△ABC为等腰三角形,∴D为BC的中点,∴BD=3,
∵I是△ABC的内心,∴BI平分∠ABD.
在△ABE与△DBI中,==,
又∵∠BID=∠AEI=∠AIE,∴AE=AI.
又∵ID=AD-AI,∴AI=AD.
即=,又∵=+=+,
∴==+.
∴λ=,μ=.
答案:
18.设集合D={平面向量},定义在D上的映射f,满足对任意x∈D,均有f(x)=λx(λ
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