2024年中考数学复习-分类讨论思想复习讲义.docx

分类讨论思想复习讲义

解题要点剖析

当所研究的对象具有某种不确定性，难以用统一的方法进行研究时，需要分不同情况进行讨论，简单地说，分类讨论就是“化整为零，逐个击破”.分类讨论问题往往是综合性比较强的问题，也是创新型问题之一.我们经常会遇到“不知如何下手”或“结论不完整，有漏解”的情况.本文以近几年中考压轴小题为载体，主要探究以下三种分类讨论类型：结论不确定型、图形位置不确定型和无图几何题.希望大家在赏析中体会分类讨论思想，在实践中应用分类讨论的方法思考问题.

考题解析

例1如图10-1所示，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx(k0)分别交反比例函数y=1x和y=9x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴，垂足为点D,交y=1x的图象于点C，连接AC.若

分析因为等腰三角形△ABC没有指明哪条边是腰，哪条边是底，所以需要分三种情况讨论：AB是底，BC是底和AC是底.联立方程组，求出直线与双曲线的交点A，B，C的坐标.根据两点间距离公式以及等腰三角形两腰相等建立方程，即可求出k的值.

∵点B是y=kx和y=9x的交点，令kx

∴点B的坐标为3

∵点A是y=kx和.y=1x的交点，令kx

∴点A的坐标为1

∵BD⊥x轴,

∴点C的横坐标为3k,纵坐标为

∴点C的坐标为3

若△ABC是等腰三角形：

(1)当AB=BC时,则3k-1

(2)当AC=BC时,则3

解得：k

(3)当AB=AC时，由等腰三角形三线合一性质可得：点A的纵坐标等于点B和点Ck=3k+k32,纵坐

综上可得：k=37

解答377或

小结本题综合考查了一次函数，反比例函数，求一次函数与反比例函数的交点，等腰三角形的性质以及分类讨论思想方法等知识.求解的关键是先联立方程组求出直线与曲线的交点坐标，然后把等腰三角形分三种情况讨论，最后建立关于k的方程并求出k的值.

例2(绍兴)如图10-2所示,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点,若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的取值范围是

分析假如点M，N位置确定，寻找使点P，M，N构成等腰三角形的点P的方法是“两圆一线”、“两圆”指的是分别以点M、N为圆心，以MN的长为半径画圆，与射线OB有几个不同的交点就意味着有几个符合条件的点P；“一线”指的是线段MN的垂直平分线与射线OB的交点就是所求的点P.因为要求符合条件的点P只有三个，故只需保证“两圆”与射线OB的交点只有2个；又因为MN是射线OA上的运动的定长线段，故可以考虑让点M从点O出发，慢慢地向前移动，观察并思考“两圆”与射线OB的交点个数.

分三种情况讨论：

①如图10-3所示，当M与O重合时，以M为圆心，以4为半径的⊙M与射线OB交于点P?;；以N为圆心，以4为半径的⊙N与射线OB交于点：P?;；线段MN的中垂线交射线OB于点.P?,故当x=0

②如图10-4所示，以N为圆心，以4为半径画圆，当⊙N与射线OB相切时，切点为P?；以M为圆心，以4为半径的⊙M与射线OB交于P?;；线段MN的中垂线与射线OB交于P?.故此时点P恰好有三个

∵∠AOB=45°,

∴△NOP?是等腰直角三角形.∴

∴ON=42,∴x=ON-MN=42-4.

③如图10-5所示，以M为圆心，以4为半径画⊙M；以N为圆心，以4为半径画⊙N.设⊙M?恰好经过点O,⊙M?恰好与射线OB相切.

当点M和M?重合时，即⊙M恰好经过点O时，此时x=4，⊙M?与射线OB只有一个交点(点O除外)，此时(ON?=8,⊙N?.与射线OB无交点，线段.M?N?的中垂线与射线OB

当点M和M?重合时，即⊙M恰好与射线OB相切，此时x=42,ON2=42+4,⊙N?与射线OB无交点，线段

当4x42时，即点M在线段M?M?之间运动，⊙M与射线OB有两个交点，⊙N与射线OB无交点，线段MN的中垂线与射线OB有一个交点，故满足条件的点

综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x=0或x=42-4

解答0或42-4

小结本题以动点问题为载体，综合考查了等腰三角形的性质和判定、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、“两圆一线”找等腰三角形以及分类讨论思想等知识.求解的关键是让点M从点O出发，观察⊙M和⊙N与射线OB的交点个数的变化，在整个运动过程中发现三种满足题意的情况：点M和点O重合，⊙N与射线OB相切，⊙M与射线OB有两个交点，⊙N与射线OB无交