全国高中数学联赛江苏赛区2006年初赛试题答案.doc

全国高中数学联赛江苏赛区2006年初赛试题班级 姓名 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．已知数列的通项公式，则的最大项是 A、 B、 C、 D、 为最小值点，所以最大，故选．2．函数的图是 A B C D 解：变式：，故选．3．已知抛物线，是坐标原点，是焦点，是抛物线上的点，使得是直角三角形，则这样的点共有 A、0个 B、2个 C、4个 D、6个 不可能是直角；而显然不 可能是直角，所以只有可能是直角；故选．4．设是定义在上单调减的奇函数．若，，，则 A、 B、 C、 D、 ； 同理可得：，； 三式相加可得：；故选．5．过空间一定点的直线中，与长方体的12条棱所在直线成等角的直线共 有 A、0条 B、1条 C、4条 D、无数条 的3条棱代表；过这个 顶点的3条棱，两两互相垂直；又空间一点可以 通过平移，看成过这个顶点的情形；考虑正方体 如右图，绿色正方体是题目中的长方体，其余7个 正方体是辅助的（因为正方体才会有等角）；与中间 3条红棱成等角的直线共有4条，即过点的大正方 体的4条体对角线；故选．6．在中，，若的最长边为，则最短边的长为 A、 B、 C、 D、解：构造适合的图形，取，点在上，； 且有，，； 于是最长，最短，；而； 因此，；故选．二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7．集合，，则集合的所有元素之和为； ； ； 利用容斥原理：．8．设，则的值是 ．9．的展开式中，的系数为 ； 易知，的系数是．10．已知，则的最大值是 的几何意义是可行域中的点到原点的距离的平方； 画图便知：的最大值是．11．等比数列的首项为，公比．设表示这个数列的前项的积， 则当时，有最大值． ； 易知：当或是4的倍数时是正数，才可能是最大的； 考察：，可知：取，适合； 故当时，有最大值．12．长方体中，已知，，则对角线的取值范围是解：，，； 则由已知可得：，； 于是； 而由图形可知：； 所以，即．三、解答题（本题满分60分，第13题、第14题各12分，第15题16分，第16题20分） 13．设集合，．若，求实数的取值范围． ，； 当时，，由，得：； 当时，，由，得：； 当时，，与不符． 综上所述，． 14．椭圆的右焦点为，为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中是椭圆的右顶点，并且．若这24个点到右准线的距离的倒数和为，求的值． ，，故；所以，； 设与轴正方向的夹角为，为点到右准线的距离； 则．即； 同理：； 所以：；从而，于是，． 15．中，，、分别是边上的高和中线，且证明是直角． 中点，连； 则为中位线，所以，且； 而， 所以．…………① 在直角中，为斜边中点， 所以， 从而．…………② 联合①、②得四点共圆； ∴，∴，即． 16．设是质数，且的不同正因数的个数不超过个．求． 时，，有个正因数； 当时，，有个正因数； 所以、满足条件； 当时，； 其中为奇质数，所以与是相邻的两个偶数， 从而必然有一个2的倍数和4个倍数，还必然有一个3的倍数， 从而是24的倍数； 设，其中； 若中有不同于2、3的质因数，则的正因数个数； 若中含有质因数3，则的正因数个数； 若中仅有质因数2，则的正因数个数； 所以不满足条件； 综上所述，所求得的质数是2或3． 4