全国高中数学联江苏赛区2009年初赛试题答案.doc

全国高中数学联赛江苏赛区2009年初赛试题班级 姓名一、填空题每小题7分，共70分1．已知，则 ，，而； 所以，或，； 所以，或者，； 所以；故． 2．已知等差数列的前11项的和为55，去掉一项后，余下10项的算术平均值为4若，则 ，则得：； 因此，． 3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率 ． 4．已知，则实数 或（舍去）； 所以实数． 5．如图，在四面体中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP＝2PC，CQ＝2QDR为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为 解法一： 到平面的距离分别为三棱锥与的以三角形PQR为底的高; 故其比值等于这两个三棱锥的体积比． ； 而； ； 所以到平面的距离的比是． 解法二： 可以求出平面与的交点来求此比值： 在平面内，延长交于点，则为平面与棱的交点． 由Menelaus定理知：，而，，故． 在平面内，作射线交于点，则为平面与的交点． 由Menelaus定理知：＝1，而，，故． 所以到平面的距离的比是． 6．设，则满足的的取值范围是 ；在定义域内单调增，且； 故的的取值范围为：． 7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10、体积为3000的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20、20、60若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水． ，cm，则； 所以去掉净水器体积，至少可以存水78000cm3． 8．设点是的外心，AB＝13，AC＝12，则 ； 则 ． 9．设数列满足：，，则此数列的前2009项的和为 ，则， 所以，，，； 一般的，若0，1，2，则；（这里由已知条件，不可能取到0、1、2的） 所以，，，从而； 所以． 10．设是整数，若，则 为负整数，则，而，此不可能，故． 于是； 当时，； 当时，； 当时，． 说明：本题也可以这样说：求实数x，使． 二、解答题本大题共4小题，每小题20分，共80分11．在直角坐标系中，直线与椭圆交于两点，是椭圆的左焦点 求以为顶点的四边形的面积． ，代入消去得：； 解此方程得：，， 即得：，； 又左焦点； 连把四边形分成两个三角形； 得：． （本题有好几个方法，有兴趣者自己想一想） 12．如图，设D、E是的边AB上的两点，已知∠ACD＝∠BCE，AC＝14，AD＝7，AB＝28，CE＝12，求BC． ∽； 所以，； 所以； 所以； 所以． 13．若不等式对于任意正实数成立，求的取值范围．；于是平方可得： 对恒成立； 令，则可得：对一切恒成立； 当时，不等式不能恒成立，所以必有：； 此时当时，取得最小值； 当且，即时，不等式恒成立； 当且仅当即时等号成立； 所以的取值范围是． 法二：由Cauchy不等式：； 即对一切正实数成立； 当时，取，，有； 而，两者矛盾，即不等式不能恒成立． 而当时，由于对一切正实数，都有； 所以不等式恒成立时，的取值范围是． 14．（1）写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数， 请予以验证； （2）是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？ 请证明你的结论． ，；设是两个不同的自然数； ①若或，或； 则均有，此时，，所以不是完全平方数； ②若或，则，此时， 所以不是完全平方数； 于是，是完全平方数的必要不充分条件是：且与均不能被4整除． （1）由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的；例如取，，， 则，，，即2，3，13是满足题意的一组自然数． （2）由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数； 这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是 完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数同余，这两个数的积加 10后不是完全平方数；得证． construction work area in the form of conference reviews. 2 review program review date is determined by the project manager; According to the project manager of project quality control Department requires preparation of a management plan, representative of the management audit of the project, approved by the project manager; Review Project Office issued notices of meetings; Project manager facilita