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【试题演练】 1．已知等比数列的首项为，公比满足。又已知，，成等差数列。（1）求数列的通项 （2）令，求证：对于任意，都有 2．已知数列的前项和为，且，数列中，，点在直线上．求数列，的通项，； 若为数列的前项和，证明：当时，．项和求通项，等差、等比数列的判断和证明，以及利用数学归纳法证明相关问题的方法和步骤。 3．在数列，中，a1=2，b=4，且成等差数列，成等比数列（）（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论； （）证明：．满足为实数（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；（Ⅱ）设，证明：; （Ⅲ）设，证明： 解： (1) 必要性 ： ， 又 ，即 充分性 ：设，对用数学归纳法证明 当时，. 假设 则，且 ，由数学归纳法知对所有成立 点评：本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意，加强训练。 5．已知函数.（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上；（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值. (Ⅰ)证明：因为所以′(x)=x2+2x, 由点在函数y=f′(x)的图象上, 又所以 所以,又因为′(n)=n2+2n,所以, 故点也在函数y=f′(x)的图象上. (Ⅱ)解:,由得. 当x变化时,﹑的变化情况如下表: 注意到,从而 ①当,此时无极小值； ②当的极小值为,此时无极大值； ③当既无极大值又无极小值. 点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力. 6．甲、乙两大型超市，2009年的销售额均为（2009年为第1年），根据市场分析和预测，甲超市前年的总销售额为，乙超市第年的销售额比前一年多.（I）求甲、乙两超市第年的销售额的表达式；（II）根据甲、乙两超市所在地的市场规律，如果某超市的年销售额不足另一超市的年销售额的20％，则该超市将被另一超市收购，试判断哪一个超市将被收购，这个情况将在哪一年出现，试说明理由. 即 n=11时 成立. 答：这个情况将在2019年出现，且是甲超市收购乙超市． 【基础知识聚焦】本题是数列与实际问题的综合，在解数列应用题，一般要经历设－列－解－答四个环节。在建立数列模型时，应明确是等差数列模型还是等比数列模型，还是递推模型。建立模型的一般方法步骤是：（1）认真审题，准确理解题意，（2）弄清题目中的主要已知事项；（3）明确所求的结论是什么；（4）抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言。（5）将实际问题抽象成数学问题。 【三年高考数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （ ） （B）- （C） （D）- 2．（2013年高考新课标I文科6）设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则（ ） （A） （B） （C） （D） 的等差数列的四个命题： 其中的真命题为 （A）（）（）（）5.（2013年高考江西卷理科3）等比数列x，3x+3，6x+6，…的的第四项等于 （ ） A.-24 B.0 C.12 D.24 【答案】A 【解析】由x，3x+3，6x+6成等比数列得 选A. 【学科网考点定位】该题主要考查等比数列的概念和通项公式，考查计算能力. 6.（2013年高考北京卷理科10）若等比数列{an}满足a2＋a4a3＋a5=40 . 8. （2013年高考湖南卷文科15）对于E={a1，a2,….a100}的子集X={，,…, },定义X的“特征数列”为x1,x2…,x100,其中==…==1.其余项均为0，例如子集{a2，a3}的 “特征数列”为0，1，0，0，…,0 子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前三项和等于________________; 若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…,P100 满足P1+Pi+1=1, 1≤i≤99; E 的子集Q的“特征数列” q1，q2，…,q100 满足q1=1，q1+qj+1+qj+2=1， 1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为___________. 9．（2013年高考全国新课标Ⅱ卷理科16）等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10=0，S15 =25，则nSn 的最小值为________. 【答案】 【解析】由题意知：，解得，，所以 =，即nSn =，令，则有，令