第五节_利用空间向量求点到平面的距离及异面直线间距离.doc

第五节 利用空间向量求点到平面的距离及异面直线间距离 点到平面的距离 设A是平面外一点，B是内一点，为的一个法向量，则点A到平面的距离 如图，已知ABCD是边长为4的正方形， E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD 且GC=2，求点B到平面EFG的距离。 在三棱锥S-ABC中，是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=，M、N分别是 AB、SB的中点。（04福建） （1）证明ACSB； （2）求二面角N-CM-B的大小； （3）求点B到平面CMN的距离。 练习：已知ABCD是边长为1的正方形，PD平面ABCD 且PD=1，E、F分别是AB、BC的中点. 求点D到平面PEF的距离； 求直线AC到平面PEF的距离。 异面直线间距离 设是异面直线a、b的公垂向量，C为a上任一点， D为b上任一点，则a、b间的距离. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a. 求异面直线BD与B1C间的距离； 求异面直线AA1与BD1间的距离。 证线面平行 若a是平面外一直线，所在向量为，是的一个法向量，若，则∥. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC， AC=3，BC=4，AA1=4，点D是AB的中点。 求证：ACBC1； 求证：AC1∥平面CDB1； 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值。（05北京文） 作业：1、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a. (1)求异面直线AA1与B1D1间的距离； （2）求异面直线A1B与B1D1间的距离。 2、如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA、OB、OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点。 （1）求点O到平面ABC的距离； （2）求异面直线BE与AC所成的角； （3）求二面角E-AB-C的大小。(06江西) 3、如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N. （1）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值； （2）求点B1到平面AMN的距离。（06湖北文） 4、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC. 已知求 （Ⅰ）异面直线PD与EC的距离； （Ⅱ）二面角E—PC—D的大小.（05重庆文） 5、如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动. （1）证明：D1E⊥A1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D 的大小为. 6、如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的 正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE． （1）求证：AE⊥平面BCE； （2）求二面角B-AC-E的大小； （3）求点D到平面ACE的距离。(05福建) 7、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， 底面是等腰直角三角形，，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G. 求A1B与平面ABD所成角的大小； 求点A1到平面AED的距离。（03全国) 15 A B C D G E F A B C S M N E A D B C C B D E E F P A D C B A1 A B1 C1 D1 P E D C B A D A B C D F E Ｂ Ｃ Ｅ Ｏ Ａ C B A A1 B1 C1 D1 D C B A A1 B1 C1 D1 A1 B1 C1 G