21 世紀初幾何教學的透視.pdf

21世紀初幾何教學的透視 一一 第4部份 計算機使幾何教學別開生面 Klaus-Dieter Graf and Bernard R. Hodgson 著 徐瀝泉 譯 引言 鍵的作用。 本部份我們將說明, 當人們適當地使用 圓的分割與反演 計算機之後, 它將怎樣給教學活動提供史無 前例的活力。 我們的第一個例子是關於 L. Collatz’s 為討論方便起見, 假設其框架集中在數 分割問題的解。 即, 使用圓規和直尺把一個圓 學、 應用和教學法這 3 個不同的維度上, 而在 盤劃分為面積相等的 n 個區域, 如圖 1, 表示 它們之中的每一個方面計算機都扮演了一個 當 n = 6 時的 Collatz’s 分割。 作法由下面 重要角色。 在數學維度上, 它包括數學對象本 的步驟 I 指出。 身在教學情境中與問題緊密相聯。 計算機有 助於我們建立基本的數學思想, 恰當地予以 理解。 在我們的情形下它是通過類比幾何變 換來實現的; 在應用問題上, 計算機顯出它是 一種構造複雜圖形的方便的工具, 它通過重 複基本的數學過程來實現; 在教學法這一維 度下, 為了闡明數學對象的基本性質及其相 圖1 互關係, 計算機被用於類比某些現象的分解。 1. 計算機在幾何中的新應用: “平面瓦片的陰陽覆蓋” 和 “萬花筒” 我們首先給出 2 個具體例子來啟發我們 的研究和討論。 在此, 計算機起著基本的和關 圖2 75 76 數學傳播 27 卷 1期 民 92 年 3 月 圖3 圖4 和圖 5也來 自 Collatz’s 分割, 將由 後面圓的反演變換給予說明。 步驟 I: 首先把給定圓盤的直徑 n 等分, 圖5 通過這些分點在圓內畫 (n − 1) 條 曲線, 每 特別地當 n = 2 時它與著名的 “陰陽” 條 曲線的兩個端點即該圓直徑的端點。 每一 符號或道家哲學中的 “太極” 符號有密切的 條 曲線都 由兩段半圓弧連接而成, 這兩個半 聯繫 (如圖 2 所示)。 我們把圖 2 的陰陽符號 圓的直徑即原圓盤直徑被該 曲線分割而成的 中各包含一個對稱點 (小圓圈) 的兩個小半 兩條毗鄰的相應的線段。 圓連接而成的曲線叫做 “陰陽直徑”, 或稱為 步驟 II: 通過圓的反演變換, 把上述圓 yy-直徑。 陰陽符號以其美學價值而著稱, 其 盤內的曲線影射到圓盤外。 顯著的特徵就是它的中心對稱性。 圖 3則給出 這樣就把整個平面劃分為某些區域, 其 了圓的另一種分劃, 它也被分成對稱的上下 中之一可稱為平面的 “一塊瓦”, 但必須提及 兩部份, 但它要比上述陰陽分劃稍遜一籌。 用 某些 “瓦片” 是無界的。 圖 4 和圖 5各表