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第二章 应力和应变 地震波传播的任何定量的描述，都要求其能表述固体介质的内力和变形的特征。现在我们对后面几章所需要的应力、应变理论的有关部分作简要的复习。虽然我们把这章作为独立的分析，但不对许多方程进行推导，读者想进一步了解其细节，可查阅连续介质力学的教科书。 三维介质的变形称为应变，介质不同部分之间的内力称为应力。应力和应变不是独立存在的，它们通过描述弹性固体性质的本构关系相联系。 2.1 应力的表述——应力张量 2.1.1应力表示 考虑一个在静力平衡状态下，均匀弹性介质里一个任意取向的无限小平面。 平面的取向可以用这个平面的单位法向矢量来规定。在方 向的一侧施加在此面单位面积上的力叫做牵引力，用矢量 表示。在相反方向的另一侧施加在此面上的力与其大小相等，方向相反，即。t在垂直于平面方向的分量叫做法应力，平行于平面方向的分量叫做剪应力。在流体的情况下，没有剪应力，，这里P是压强。 在笛卡尔坐标系（图2.1）里，应力张量可以用作用于平面的牵引力来定义(： （2.1） 应力分量的符号规定如下：对于正应力，我们规定拉应力为正，压应力为负。对于剪应力，如果截面的外法线方向与坐标轴一致，则沿着坐标轴的正方向为正，反之为负；如果截面方向与外法线方向相反，则沿着坐标轴反方向为正。 图2.1 在笛卡尔坐标系里描述作用在无限小立方体面上的力的牵引力矢量。 因为固体处于静力平衡状态，所以没有因剪应力作用而产生的净扭转。例如，当考虑XZ平面的剪应力时，为了使扭转相互抵消，必须有。类似地有：。故应力张量是对称的，即： （2.2） 应力张量只包含6个独立的要素，它们足以完全描述介质中一个给定点的应力状态。 2、任意一个面上的应力可以由应力张量表示 一点的九个应力分量如果能够完全确定一点的应力状态，则其必须能够表达通过该点的任意斜截面上的应力矢量。 ??? 为了说明这一问题，在O点用三个坐标面和一任意斜截面截取一个微分四面体单元， 斜截面的法线方向矢量为n，它的三个方向余弦分别为l，m和n。 ??? 设斜截面上的应力为pn，i，j 和 k 分别为三个坐标轴方向的单位矢量，pn在坐标轴上的投影分别为px, py, pz。则应力矢量可以表示为 pn = pxi+ py j+ pz k 同样，把单位体积的质量所受的体积力Fb沿坐标轴分解，有 Fb = Fbxi+ Fby j+ Fbz k 设S为ΔABC的面积，则 ΔOBC=lS,??? ΔOCA=mS,??? ΔOAB=nS ΔABC的法线方向的单位矢量可表示为 n = l i+ l j + m k 微分四面体在应力矢量和体积力作用下应满足平衡条件，设h为O点至斜面ABC的高，由x方向的平衡，可得 将公式代入上式，则 ??? 对于微分四面体单元，h与单元体棱边相关，因此与1相比为小量，趋近于零=0），因此 同理 ??? 如果采用张量记号，则上述公式可以表示为 ??? 上式给出了物体内一点的9个应力分量和通过同一点的各个微分面上的应力之间的关系。这一关系式表明，只要有了应力分量，就能够确定一点任意截面的应力矢量，或者正应力和切应力。因此应力分量可以确定一点的应力状态。定义的平面，一个侧面作用于另一个侧面的牵引力为应力张量与的乘积，即： （2.3） 这可以通过对由垂直于的平面和平面所围限的四面体（柯西四面体）面上的力求和作出说明。 简单地说，应力张量是给出相对于法向矢量的牵引力矢量t的线性算子，从这个意义上来说，应力张量与任何特定的坐标系无关。在地震学中，我们几乎总是把应力张量写成笛卡尔几何学里的一个的矩阵。注意到对称的要求，应力张量的独立参数由9个减少为6个，呈现为最一般形式的二阶张量（标量为零阶张量，矢量为一阶张量，等等）。 应力张量通常随在物质里的位置而变化，它是作用在固体里每一点的无限小的面上的力的度量。应力只给出了这些面由一边作用于另一边的力的度量，计量标准是单位面积上的力。然而，可能有其他力（如重力）。这些力称为体力，计量标准是每单位体积或单位质量上的力。 2.1.3坐标变换 一点的应力分量不仅随着变形体中点的位置在改变，而且即使在同一点，由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不一样。假设已知在坐标系Oxyz中，弹性体中的某点的应力状态表示为： 则对于新的坐标系Ox’y’z’，这点的各应力分量是多少就是本小节讨论的问题。设新旧坐标系的方向余弦表如下： x y z 根据（2.3）可知，沿的应力可以表示为： 此应力有三个分量，将其再投影到方向即得到在新坐标系中的各分量： … 所以 由此可知一个斜面上的正应力可以表示为： 其剪应力为： 2.1.4主应