第9章矩阵特征值问题的数值方法.ppt

第9章 矩阵特征值问题的数值方法 9.1 特征值与特征向量 如果把(1)式右端写为 ，那么(1)式又可写为: 显然，当λ是A的一个特征值时，它必然是 的根. 反之，如果λ是 的根，那么齐次方程组(2)有非零解向量x，使(1)式成立. 从而，λ是A的一个特征值. A的特征值也称为A的特征根. 矩阵特征值和特征向量有如下主要性质： 定理9.1.1 n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要 条件是A有零特征值. 9.2 Hermite矩阵特征值问题 设A为n阶矩阵，其共轭转置矩阵记为AH. 如果A=AH，那么，A称为Hermite矩阵. 9.2.1 Hermite矩阵的有关性质  设 是Hermite矩阵A的n个特征值. 有以下性质: 全是实数. 记U=( ),它是一个酉阵，即UHU=UUH=I，那么 即A与以 为对角元的对角阵相似. 定理9.2.1 设 是Hermite矩阵A的n个特征值，那么 证: 设x是一个非零向量，A是Hermite矩阵，称 为矩阵A关于向量x的Rayleigh商，记为R(x). 9.2.2 极值定理 定理9.2.4(极值定理) 设Hermite矩阵的n个特征值为 ，其相应的标准酉交特征向量为 . 用Ck表示酉空间Cn中任意的k维子空间，那么 9.2.3 Hermite矩阵特征值问题的性态 矩阵特征值问题与求解线性方程组问题一样，都存在当矩阵A的原始 数据有小变化(小扰动)时，引起特征值问题的变化有大有小的问题，如果引起的变化小，称 该特征值问题是良态的. 反之，称为病态的.  矩阵特征值问题的性态是很复杂的，通常分别就单个特征值或整体特征值给出状态数进行分 析. 对于Hermite矩阵，由于其特征值问题的特殊性质，其特征值都是良态的.下面先证明Hermite矩阵特征值的扰动定理. 定理9.2.5 设矩阵A，E，A+E都是n阶Hermite矩阵，其特征值分别为 那么, 证 设矩阵A关于特征值λ1，λ2，…，λn 的标准酉交特征向量为u1，u2，…，un， 是由ui，ui+1，…，un生成的n-i+1维子空间. 对 中任意非零向量x,由极值定理,有 由定理9.2.3， 又由定理9.2.2，对任意x≠0，有 从而有 另一方面, A=(A+E)-E. 记 为矩阵-E的特征值，那么， 重复上面的过程,可得 从而有 定理9.2.5通常又称为Hermite矩阵特征值的扰动定理 定理9.2.6 设矩阵A和A′=A+E都是n阶Hermite矩 阵，其特征值分别为 和 ，那么 这个定理表明，扰动矩阵E使A的特征值的变化不会超过 ‖E‖2. 一般‖E‖2小，因此，Hermite矩阵特征值是良态的. 9.3 Jacobi方法 理论上，实对称矩阵A正交相似于以A的特征值为对角元 的 对角阵. 问题是如何构造这样的正交矩阵呢? Jacobi方法就是通过构造特殊的正交矩阵 序列，通过相似变换使A的非对角线元素逐次零化来实现对角化的. 设 是二阶实对称矩阵，即a21=a12，其特征值为λ1，λ2. 令 使得 记 容易验证BT=B, 且 解之得: 当 时 当 时 并规定 9.3.2 经典的Jacobi方法 设A是实对称矩阵，记A1=A.Jacobi方法的基本思想是用迭代格式 Ak+1=QTkAkQk , k=1,2,… 构造一个相似矩阵序列，使｛Ak｝收敛于一个对角阵. 其中 Qk为平面旋转矩阵，其旋转角θk由使Ak的绝对值 最大元a(k)pq=a(k)qp=0 或按列依次使A的非