电磁场与电磁波讲义(电子科大第三版).doc

第一章　矢量分析 仅具有大小特征的量为标量，标量的空间分布构成标量场，标量场可用一个标量函数来描述；不仅具有大小而且具有方向特征的量称为矢量，矢量的空间分布构成矢量场，矢量场可用一个矢量函数来描述。矢量分析是研究场在空间的分布和变化规律的基本数学工具：标量场在空间的变化规律由其梯度来描述，矢量场在空间的变化规律通过场的散度和旋度来描述，因此本章的重点是标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的概念及其运算规律。 1.1 矢量代数 1.矢量的表示 矢量可用一条有方向的线段表示，线段的长度表示矢量的大小，称为矢量的模；箭头的指向表示矢量的方向。用表示与矢量同方向的单位矢量，则 　　 ； 2.矢量的加法　矢量的加法遵循平行四边形法则，加法运算符合结合律和交换律。 　　 交换律：； 结合律： 　 两个矢量的相减可以归结为相加运算。 3.矢量的乘法 (1)标量与矢量相乘 矢量与标量的乘积为矢量，大小为。若，与同向；若，与反向。 (2)矢量的标积或点积 　 标积的运算符合交换律和分配律： ； (3)矢量的矢积或叉积 　　大小：；即等于矢量和构成的平行四边形的面积。 方向：与矢量和垂直，其指向由右手螺旋决定。 　　矢量积不服从交换律，但服从分配律： ； (4)标量三重积（三矢量的混合积） 形式： 几何意义：等于矢量构成的平行六面体的体积 性质： a.把三个矢量按循环次序轮换，其积不变。 b.只把两矢量对调，其积差一负号。 (5)矢量三重积（三矢量的矢积） 形式： 性质： 1.2　三种常用的正交坐标系 1.直角坐标系 (1)坐标变量 ，， (2)空间点 任意空间点是三个平面的交点。 (3)单位矢量 ，，，分别沿增加的方向，且遵循右手螺旋法则： ，， (4)矢量表示式 (5)位置矢量 (6)元位移 (7)面积元 ，， (8)体积元 　　 (9)直角坐标系中的矢量代数 2.圆柱坐标系 (1)坐标变量 ，， (2)空间点 任意空间点是以下三个面的交点：的圆柱面、包含轴并与平面构成夹角为的半平面、的平面。 (3)单位矢量 ，，，分别沿增加的方向，且遵循右手螺旋法则： ，， ，不是常矢量。 (4)矢量表示式 (5)位置矢量 (6)元位移 (7)面积元 ，， (8)体积元 (9)圆柱坐标系中的矢量代数 3.球坐标系 (1)坐标变量 ，， (2)空间点 任意空间点是以下三个面的交点：球心在原点、半径的球面；顶点在原点、轴线与轴重合且半顶角的正圆锥面；包含轴并与平面构成夹角为的半平面。 (3)单位矢量 ，，，分别沿增加的方向，且遵循右手螺旋法则： ，， ，，都不是常矢量。 (4)矢量表示式 (5)位置矢量 (6)元位移 (7)面积元 ，， (8)体积元 (9)圆柱坐标系中的矢量代数 4.三种坐标系坐标变量之间的关系 (1)直角坐标系与柱坐标系的关系 ，，； ，， (2)直角坐标系与球坐标系的关系 ，，； ，， (3)柱坐标与球坐标 ，，； ，， 5.三种坐标系坐标单位矢量之间的关系 ０ － ０ ０ ０ １ (1)直角坐标系和柱坐标系中单位矢量的关系 (2)直角坐标系和球坐标系中单位矢量的关系 ０ 1.3 标量场的梯度 标量的空间分布构成标量场，标量场可用一个标量函数来描述。与时间无关的场称为静态场，静态标量场可用函数来描述。为了考察标量场在空间的分布和变化规律，引进等值面、方向导数和梯度的概念。 1.标量场的等值面 (1)定义 空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面,等值面满足方程 (2)特点 a.常数C取一系列不同的值时，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族； b.标量场的等值面族充满场所在的整个空间（连续）； c.标量场的等值面互不相交（单值）。 2.方向导数 (1)定义 设是标量场中的一点，是从点出发的一条射线，是射线上的动点，与点的距离为，则 定义标量场在点处沿方向的方向导数。 显然，方向导数值既与点有关，也与方向有关。 (2)意义 方向导数是标量场在点处沿方向对距离的变化率。当时，标量场沿方向增加；当时，标量场沿方向减小；当时，标量场沿方向无变化。 (3)计算公式 根据符合函数求导法则，在直角坐标系中 设方向的方向余弦是，则 上式为直角坐标系中方