初中几何辅助线问题.doc

初中几何的辅助线问题 摘? 要：平面几何是初中教学的一门重要课程，它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用，又是继续学习数学和其他学科的基础，但对不少初中学生来说，平面几何也是一门难度较大的学科。 解数学题的一个基本思路是将复杂的问题转化为较为熟悉的或已经掌握的问题，不少平面几何问题都需要进行这种转化，添加适当的辅助线就是实现这种转化的一种重要手段。要系统地掌握添加辅助线的方法并非易事。??????? 有关辅助线问题，是平面几何教学的难点，不少初中生感到平面几何比较难学，特别是遇到需要添加辅助线的习题，有时会感到无从下手。在初中几何题中，经常会用到辅助线，尽管教师把辅助线的一般规律讲的淋漓尽致，学生做的时候还会卡住。那么，究竟怎样进行辅助线的教学？认识规律，掌握方法很重要，为此，对初中几何中添加辅助线的思路??以下几个方面进行了总结，希望帮助学生有效地学习。??????? 1?? 在探索中添加辅助线?????? 笔者认为，挖掘教学因素，开发智力应成为添加辅助线教学中的重点。添加辅助线问题，要深挖教材的内在智力因素，讲清辅助线的意义和根据，不断总结经验，找出规律。　???? 以过直径AB的两个端点直线的变动为例来看添加辅助线的规律。(直径所对的圆周角是直角），将这两条直线动起来，将有一系列题目产生：如果AP、BP的交点P在圆周上，过O作AB的垂线交圆O于D，交AB的延长线于E，则有下面的题目：　　? ①AB为圆O的直径，OD⊥AB，BP交圆O于P，交DO于F，AP的延长线与DO交于E，求证：EO·FO =(R为圆的半径)。???????? 连结OP，∵∠BPO＝∠PBO=∠E，而∠POF=∠EOP，∴△PFO∽△EPO，即得EO·FO =OP2=R2。??????? 如果AP和BP交于圆外一点，BP交圆O于D，PA=PB，且过D点的切线CD⊥AP，则有题目：? 　　②AB为圆O的直径，AP和BP交于圆外一点，BP交圆O于D，PA=PB，且过D点的切线CD⊥AP，求∠A的度数。　???? 连结AD，则∠ADC=∠2, ∠ADC=∠3, ∠2 =∠3,得PA=AB，而PA=PB，则△PAB是等边三角形，故∠A=60°　??? ③△PAB中，∠A=90°，以AB为直径的圆交BP于Q，切线QD交AP于D，求证：PD=DA。??????? 连结AQ，则??????? ∠1+∠2 =∠3+∠4??????? 但∠1=∠2，则∠3 =∠4??????? 所以DQ=DA=DP。??????? 反过来，若PD=DA，QD是否和圆相切呢？结论仍然正确。于是又有题目：　? 　④△PAB中，∠A=90°，以AB为直径的圆交BP于Q，PD=DA，求证：QD是圆的切线。（证明略）。　　? 以上用运动的观点考察了PA、PB交于圆上和圆外的情况和添加辅助线的规律，不仅可以培养学生创造性的思维能力，还能从中获得添加辅助线的规律。对发展学生的智力是大有益处的，这正是辅助线教学的重点。???????? 2?? 用平移、旋转、对称法添加辅助线　　平移、旋转、对称是平面几何中的三大变换，在解几何证明题时利用平移、旋转、对称添加辅助线是基本思路和常用的方法。引导学生在分析图形特点的同时，掌握适当的添加辅助线的方法，对于提高学生的解（证）题能力是十分重要的。???????? 2.1利用平移添加辅助线　　?涉及梯形一类问题，往往将梯形的腰或对角线平移，构成平行四边形和三角形。?????? 例1.梯形ABCD中，DC∥AB，∠A和∠B互余，M、N分别是DC、AB的中点，求证：MN=(AB-CD)。????? 分析：将DA平移至ME，CB平移至MF，则构成了□AEMD□BFMC和□EMF,易证△EMF是直角三角形，且MN是斜边EF上的中线，则有MN=EF，而EF=AB-CD，当然，还可以通过添加其他辅助线完成，但这样添加比较快捷。? 　 例2.梯形ABCD中，AD∥EF∥BC，AD=12，BC=18，AE∶EB=2∶3，求EF的长。??????? 分析：过点D作DG∥AB，分别交EF于H，交BC于G，只要分别求出EH、HF的长即可。　??? 解：过点D作DG∥AB，分别交EF于H, 交BC于G?????? ∵AD∥EF∥BC，AD=12，BC=18，?????? ∴AD=EH=BG=12???? ∴GC=BC-BG=18-12=6　?? AE∶EB= DH∶HG=2∶3? ∴DH∶DG=2∶5?????? ∵DH∶DG= FH∶CG??? ∴FH∶6=2∶5?????? ∴FH=2.4???? ∴EF=12+2.4=14.4??????? 2.2利用旋转添加辅助线??????? 2.2.1涉及梯形腰上中点