数值分析与15-平方根法 .ppt

第五章 线性方程组的迭代解法 6.3 平方根法 6.4 误差分析 平方根法 平方根法 改进的平方根法 一维压缩存储 平方根法 用平方根法解线性代数方程组的算法 用平方根法解线性代数方程组的算法 改进的平方根法 改进的平方根法 改进平方根法解对称正定方程组的算法 改进平方根法解对称正定方程组的算法 一维压缩存储 方程组的病态 误差分析 误差分析 误差分析 误差分析 条件数的性质 误差分析 精度分析 精度分析 * * 如果A为对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异 下三角矩阵，使A=LLT ，且当限定的对角元素为正时，这种分解是唯一的。 定理6：（对称正定矩阵的三角分解） 设 A = LU AT = A UTLT = LU LU 分解唯一 U = LT A = LLT （1）对矩阵A进行三角分解，即A=LLT，由矩阵乘法： 对于 i = 1, 2,…, n 计算 （2）求解下三角形方程组 （3）求解LTX = y 定理 如果n阶对称矩阵A的所有顺序主子式均 不等于零，则矩阵A存在唯一的分解式 A = LDR其中L和R分别是n阶单位下三 角阵和单位上三角阵，D是n阶对角元素 的不为零的对角阵，上述分解也称为A 的LDR分解。 设 A = LDR AT = A RTDLT = LDR LDR 分解唯一 R = LT A = LDLT 其中 令LTX = y，先解下三角形方程组LDY = b得 解上三角形方程组LTX = Y得 在编写乔累斯基程序时，考虑到系数矩阵 A 的对称性，只要将其下三角部分 逐行存放于一维数组 A^［1∶ m］中. ⅰ）cond ( A )≥1 ⅱ）cond ( kA )= cond ( A ) k 为非零常数 ⅲ）若 ， 则 * * *