概率第一章 概 率 论.ppt
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第五节 随机变量及其分布 (2)由(1)知,f(x)=,于是四、随机变量的分布函数 对离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布,可以分别用分布列和概率密度函数来描述.而实际上还存在一个描述这两类随机变量概率分布的统一方法,这就是随机变量的分布函数.(1)0≤F(x)≤1,其中x∈(-∞,+∞).(3)F(-∞)=F(x)=0,例10 设随机变量X的分布列为 表格 解 (1)当x<1时,F(x)=P(X≤x)=∑xk<1pk=0; 第五节 随机变量及其分布 (2)当1≤x<2时,F(x)=P(X≤x)=∑xk<2pk=P(X=1)=0.3;(3)当2≤x<3时,(4)当x≥3时, 图 1-10 第五节 随机变量及其分布 例11 已知连续型随机变量X的密度函数为解 当x<a时, 例12 设连续型随机变量X的分布函数为解 (1)由,(2)由(1)得F(x)=1/2+1/πarctanx,所以(3)f(x)=F′(X)=1/π1.下面表(1)、(2)是否为某个随机变量的分布列? 第五节 随机变量及其分布 表(1) 第五节 随机变量及其分布 表(2) 2.已知离散型随机变量X的概率分布为: 表(2) 3.盒内有12个乒乓球,其中9个新球,不放回地抽取,每次取一个直到取得新球为止,求下列随机事件的概率分布:(1)抽取次数X;(2)取得的旧球个数Y. 第五节 随机变量及其分布 4.设某批数量较多的电子管,其正品率为75%,现对这批电子管进行测试,只要遇到一个正品电子管就停止测试,求测试次数的分.5.一大批种子的发芽率为90%,今从中任取10粒播撒土壤中,求:(1)恰有8粒发芽的概率;(2)不少于8粒发芽的概率.6.校对一本共100页的书,更正了150个错误,假设每页上的错误数X服从泊松分布,求该书原来每页上的错误都不超过4个的概率.7.若随机变量X的概率密度为:f(x)=,8.已知公共汽车到达某站的时间服从10时到10时半之间的均匀分布,求如果10时到达车站,需要等候10分钟以上的概率. 第六节 正 态 分 布 一、正态分布的定义及性质 定义1 若连续型随机变量X的密度函数为f(x)=称X服从参数为μ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布,记作 图 1-11 第六节 正 态 分 布 图 1-12 (1)曲线位于x轴的上方,以x=μ为对称轴, 第六节 正 态 分 布 向左右对称地无限伸延,并且以x轴为渐近线;(2)曲线在x=μ处达到最高点,最大值为1/σ;(3)若固定σ,改变μ的值,则曲线y=f(x)沿x轴平行移动,曲线的几何形状不变;若固定μ,改变σ的值,σ越大y=f(x)的图形越平坦,曲线愈“矮胖”(即分布愈分散);σ越小y=f(x)的图形越陡峭,曲线愈“高瘦”(即分布愈集中于μ的附近).二、正态分布的概率计算 设随机变量X~N(μ,σ2),则根据分布函数的概念,X在区间(x1,x2)内取值的概率为 第二节 随机事件的概率 对100000发炮弹中的100发炮弹进行发射试验,结果有90发炮弹正常,合格的频率为90/100=0.9,因此,可以认为该批炮弹的合格率基本在0.9左右,即任意从中抽取一发炮弹,能正常发射的可能性为0.9.(1)0≤P(A)≤1;(2)P(Ω)=1;(3)P(?)=0;(4)若A?B,则P(A)≤P(B);(5)P(A)=1-P().二、概率的古典定义 第二节 随机事件的概率 按概率的统计性定义求概率,即用频率来确定概率往往是很困难的,甚至是不现实的.事实上,很多随机现象不需要进行试验或观察,根据所讨论事件的特点就可直接计算事件的概率,而且与事实完全一致,甚至比试验更加精确和可信.例如,抛掷骰子的随机试验中,Ai={出现点数为i}(i=1,2,3,4,5,6)是随机试验的6个基本事件,由于骰子的对称性,出现各个基本事件的可能性相同,都为1/6,这个结果是可信的,没有人会怀疑的.这种计算方法就叫做概率的古典概型方法.(1)有限性——样本空间的元素(基本事件)只有有限个,即Ω={ω1,ω2,ω3,…,ωn};(2)等可能性——每一个基本事件发生的可能性都相同,即例2 先后抛掷两枚均匀的硬币,求出现一个正面一个背面的概率. 第二节 随机事件的概率 解 试验的样本空间Ω={(正、正),(正、背),(背、正),(背、背)},设A表示出现“一个正面、一个背面”,则事件A包含两个基本事件(正、背)、(背、正),所以例3 袋中有5个白球3个黑球,从中任取2个球,求(1)取到2个白球的概率;(2)取到1个白球1个黑球的概率;(3)至少取到1个黑球的概率.解 (1)设A表示“取到2个白球”,则P(A)==5/14.(2)设B表示“取到1个白球和1个
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