数学物理与方法初值问题 .ppt

数学检验： 初始条件： 积分号下的求导公式： * 则 非齐次方程 * 以上这种用瞬态冲量的叠代替持续作用力来解决问 题的方法，称为冲量原理。数学上称为齐次化原理。 所以有 齐次化原理求解过程小结： * 设有定解问题为 齐次化原理不仅可用于非其次波动方程的初始值问题，还可用于混合问题及其他方程（如热传导方程）的定解问题。 例 * 解：令u（x，t）=u1（x，t）+u2（x，t) u1（x，t）直接由达朗贝尔公式求出： * u2（x，t）由冲量原理（齐次化原理）求解； 3.2 一维热传导方程 （一）齐次方程（柏松公式） * 定解问题的提出 （柏松公式） * 物理意义 设细杆在x轴上，在杆上取一点x0，现假设初始温度分布为 而根据柏松公式，细杆温度分布为 x x0-δ x0+δ x0 * 根据当前条件，可以写为 由积分中值定理，有 * * 故无穷长杆可以看成由无穷多个点组成，每个点有一个发出热量为Q’的初始点热源。 （二）半无限长细杆问题的求解 * 一端绝热的细杆 延拓法求解 第二类边界条件，作偶延拓 令 * 其满足 * 此问题可直接由泊松公式求解 * 而当x=0时 （三）非齐次方程的解（内部有热源） * 解：令u（x，t）=u1（x，t）+u2（x，t) * u1（x，t）满足 u1（x，t）可直接由泊松公式求解； * u2（x，t)满足 u2（x，t）由齐次化原理求解； * 而u2’（x，t;τ)满足 根据前面的解法，有 综合前面各式，求出u（x，t） 本章小结 * 初值问题（泛定方程+初始条件） 一维波动方程 （达朗贝尔公式） 一维热传导方程 （泊松公式） 无限长齐次方程 半无限长齐次方程 无限长 非齐次方程 无限长齐次方程 半无限长齐次方程 无限长 非齐次方程 * 无限长齐次方程 半无限长齐次方程 无限长非齐次方程 达朗贝尔公式或泊松公式 第一类齐次边界条件（奇延拓） 第二类齐次边界条件（偶延拓） 齐次方程+非零初始条件 非齐次方程+零初始条件 （零输入，达朗贝尔或泊松公式） （零状态，齐次化原理） + 作业： P150， 习题2.1，1 * 求下列定解问题 * 本章基本要求 掌握达朗贝尔公式、泊松公式及其物理意义 掌握半无限长问题的延拓法求解 * 掌握非齐次方程问题的求解方法 3.1 弦振动方程 （一）齐次弦振动方程（达朗贝尔公式） * 定解问题的提出 齐次方程可以写为： 我们解方程一般是希望解出通解，再根据条件得到特解，但偏微分方程的通解形式一般很难界定，也较难求。研究表明，对无界情况的定解问题（波动方程和热传导）可以求出通解，然后通过初始条件得到特解。 * 研究发现，当作变量代换 此时通过方程两边积分，即可求出方程的通解。 * 可满足前述要求，此时 (1) 通解 对 积分： 两边再对ε积分：得到 * 积分常数依赖于 上式中f1为任意二次连续可微函数 * 同理交换积分顺序，同样可以得到 此时f2为任意二次连续可微函数 其中f1和f2均为任意二次连续可微函数 上式即为通解形式 确定待定函数的形式 无限长，即无边界条件 初始条件为 和 (2)达朗贝尔公式 * 即 上面第二式两端对x积分，得到 将上式和前面第一式联立，可求出 * 即 上式即为达朗贝尔公式 * （3）物理意义 先考虑u2=f2（x-at）： 当t=t2（t2t1)时， u2=f2（x-at2）。 故波形 u2=f2（x-at）随着时间推移，以常速度a向x轴的正方向移动。我们称之为右行波。 当t=t1时， u2=f2（x-at1）； 同理 u1=f1（x+at）为一个以常速度a向x轴的负方向传播的行波。称为左行波。 故达朗贝尔公式表明，弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播速度正好是弦振动方程中的常数a，故此方法又称为行波法。 从达朗贝尔公式可以看出，波动方程的解，是初始条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的，额外的形式来。 而这种演化又受到边界条件的限制。 这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程的解时的重要性。 * * （4）依赖区间、决定区域、影响区域 从达朗贝尔公式还可以看出，解在点（x，t）的数值仅依赖于区间[x-at,x+at]上的初始条件，而与其他点上的初始条件无关。称[x-at,x+at]为点（x，t）的依赖区间，它是由过点（x，t）的两条斜率分别为±1/a的直线在x轴所截得的区间，如下图所示。 t O x (x,t) x-at x+at * 当t=0