2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：6个解答题综合仿真练(二)+Word版含解析【KS5U+高考】.doc

6个解答题综合仿真练(二) 1．已知向量a＝(2cos α，sin2α)，b＝(2sin α，t)，α. (1)若a－b＝，求t的值； (2)若t＝1，且a·b＝1，求tan的值． 解：(1)因为向量a＝(2cos α，sin2α)，b＝(2sin α，t)， 且a－b＝，所以cos α－sin α＝，t＝sin2α. 由cos α－sin α＝，得(cos α－sin α)2＝， 即1－2sin αcos α＝，从而2sin αcos α＝. 所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝. 因为α，所以cos α＋sin α＝. 所以sin α＝＝， 从而t＝sin2α＝. (2)因为t＝1，且a·b＝1， 所以4sin αcos α＋sin2α＝1，即4sin αcos α＝cos2α. 因为α，所以cos α≠0，从而tan α＝. 所以tan 2α＝＝. 从而tan＝＝＝. 2.如图，四棱锥P-ABCD中，PD＝PC，底面ABCD是直角梯形，ABBC，ABCD，CD＝2AB，点M是CD的中点． 求证：(1)AM平面PBC； (2)CDPA. 证明：(1)在直角梯形ABCD中，ABCD，CD＝2AB，点M是CD的中点，故ABCM，且AB＝CM，所以四边形ABCM是平行四边形，所以AMBC. 又BC平面PBC，AM平面PBC， 所以AM平面PBC. (2)连结PM，因为PD＝PC，点M是CD的中点， 所以CDPM， 又ABBC， 所以平行四边形ABCM是矩形，所以CDAM， 又PM平面PAM，AM平面PAM， PM∩MA＝M，所以CD平面PAM. 又PA平面PAM，所以CDPA. 3.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点D(，－)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值． 解：(1)由已知得c＝1，又e＝＝， 则a＝，b2＝a2－c2＝1， 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)证明：设直线PQ的方程为y＝k(x－)－，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由消去y，整理得(2k2＋1)x2－(4k2＋4k)x＋4k2＋8k＋2＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝， 所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k－2＝， 又A(，0)，所以kAP＋kAQ＝＋ ＝， 由y1x2＋y2x1＝[k(x1－)－ ]x2＋[k(x2－)－ ]x1＝2kx1x2－(k＋)(x1＋x2)＝－， 故kAP＋kAQ＝ ＝＝1， 所以直线AP，AQ的斜率之和为定值1. 4.如图所示，某公路AB一侧有一块空地OAB，其中OA＝3 km，OB＝3 km，AOB＝90°.当地政府拟在中间开挖一个人工湖OMN，其中M，N都在边AB上(M，N不与A，B重合，M在A，N之间)，且MON＝30°. (1)若M在距离A点2 km处，求点M，N之间的距离； (2)为节省投入资金，人工湖OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使OMN的面积最小，并求出最小面积． 解：(1)在OAB中，因为OA＝3，OB＝3，AOB＝90°，所以OAB＝60°. 在OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cos A＝7， 所以OM＝， 所以cosAOM＝＝， 在OAN中，sinONA＝sin(A＋AON)＝sin(AOM＋90°)＝cosAOM＝. 在OMN中，由＝，得MN＝×＝. (2)法一：设AM＝x,0＜x＜3. 在OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cos A＝x2－3x＋9， 所以OM＝， 所以cosAOM＝＝， 在OAN中，sinONA＝sin(A＋AON)＝sin(AOM＋90°)＝cosAOM＝. 由＝，得ON＝·＝. 所以SOMN＝OM·ON·sinMON ＝··· ＝，0＜x＜3. 令6－x＝t，则x＝6－t,3＜t＜6， 则SOMN＝＝≥·＝. 当且仅当t＝，即t＝3，x＝6－3时等号成立，SOMN的最小值为. 所以M的位置为距离A点6－3 km处，可使OMN的面积最小，最小面积是 km2. 法二：设AOM＝θ，0＜θ＜， 在OAM中，由＝， 得OM＝. 在OAN中，由＝， 得ON＝＝. 所以SOMN＝OM·ON·sinMON ＝··· ＝＝ ＝ ＝，0＜θ＜. 当2θ＋60°＝90°，即θ＝15°时，SOMN的最小值为. 所以应设计AOM＝15°，可使OMN的面积最小，最小面积是 km2. 5．已知数列{ai}共有m(m≥3)项，该数列前i项和为Si，记ri＝2Si－Sm(i≤m，iN*). (1)当m＝10时，若数列{ai}的通项公式为ai＝2i＋1，求数列{r