2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练:3个附加题综合仿真练(五)+Word版含解析【KS5U+高考】.doc
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3个附加题综合仿真练(五)
1.本题包括A、B、C、D四个小题,请任选二个作答
A.[选修4-1:几何证明选讲]
如图,AB是半圆的直径,C是半圆上一点,D是弧AC的中点,DEAB于E,AC与DE交于点M,求证:AM=DM.
证明:连结AD,因为AB为直径,所以ADBD,
又DEAB,所以ABD=ADE.
因为D是弧AC的中点,
所以DAC=ABD,
所以ADE=DAC.
所以AM=DM.
B.[选修4-2:矩阵与变换]
已知向量是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量.在平面直角坐标系xOy中,点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P′(3,3),求矩阵A.
解:设A=,因为向量是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量,
所以==(-1)=.
所以
因为点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P′(3,3),
所以==.所以
由解得a=1,b=2,c=2,d=1,所以A=.
C.[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中,已知直线(n为参数)与曲线(t为参数)相交于A,B两点,求线段AB的长.
解:法一:将曲线(t为参数)化为普通方程为y2=8x.
将直线(n为参数)代入y2=8x得,
n2-8n+24=0,
解得n1=2,n2=6.
则|n1-n2|=4,
所以线段AB的长为4.
法二:将曲线(t为参数)化为普通方程为y2=8x,
将直线(n为参数)化为普通方程为x-y+=0,
由得或
所以AB的长为 =4.
D.[选修4-5:不等式选讲]
已知函数f(x)=,g(x)=,若存在实数x使f(x)+g(x)a成立,求实数a的取值范围.
解:存在实数x使f(x)+g(x)>a成立,
等价于f(x)+g(x)的最大值大于a,
因为f(x)+g(x)
=+
=×+1×,
由柯西不等式得,
(×+1×)2≤(3+1)(x+2+14-x)=64,
所以f(x)+g(x)=+≤8,当且仅当x=10时取“=”,故实数a的取值范围是(-∞,8).
2.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,ABC=45°,OA底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.
(1)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(2)求平面OAB与平面OCD所成锐二面角的余弦值.
解:作APCD于点P,分别以AB,AP,AO所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),P,D,
O(0,0,2),M(0,0,1).
(1)设直线AB与MD所成角为θ,
由=(1,0,0),=,
则cos θ=|cos〈,〉|==,
故AB与MD所成角为60°.
(2)=,=,
设平面OCD的法向量n=(x,y,z),
则即取z=,则n=(0,4,).
易得平面OAB的一个法向量为m=(0,1,0),cos〈n,m〉==,
故平面OAB与平面OCD所成锐二面角的余弦值为.
3.设a>b>0,n是正整数,An=(an+an-1b+an-2b2+…+a2b n-2 +abn-1+bn) ,Bn=n.
(1)证明:A2>B2;
(2)比较An与Bn(nN*)的大小,并给出证明.
解:(1)证明:A2-B2=(a2+ab+b2)-2=(a-b)20.
(2)An≥Bn,证明如下:
当n=1时,A1=B1;
当n≥3时,An=·,Bn=n,
令a+b=x,a-b=y,且x0,y0,
于是An=·=[(x+y)n+1-(x-y)n+1],Bn=n,
因为[(x+y)n+1-(x-y)n+1]=(2Cxny+2C·xn-2y3+…)≥2Cxny,
所以An≥·2Cxny==n=Bn.
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