2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之4创新与综合题.doc

专题之4、创新与综合题 一、选择题。 1．(2011年复旦大学)设正整数n可以等于4个不同的正整数的倒数之和,则这样的n的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 2．(2011年同济大学等九校联考)设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转,τ表示坐标平面关于y轴的镜面反射,用τσ表示变换的复合,先做τ,再做σ,用σk表示连续做k次σ的变换,则στσ2τσ3τσ4是 A.σ4 B.σ5 C.σ2τ D.τσ2 3．(2009年南京大学)求所有满足tan A+tan B+tan C≤[tan A]+[tan B]+[tan C]的非直角三角形. 4．(2010年浙江大学)如图,一条公路两边有六个村庄,要建一个车站,要求到六个村庄的距离之和最小,应该建在哪里最合适?如果再在边上增加一个村庄呢? 5．(2009年清华大学)A、B两人玩一个游戏,A选择n枚硬币,B根据自己的策略将这些硬币全部摆放在位点上,之后A选取一个至少有2枚硬币的位点,取走一枚硬币,再将另一枚硬币移动到相邻位点,A若在有限步内根据规则在指定点P处放上一个硬币则获胜.问在一条有5个位点的线段和7个位点的圆环上,A分别至少选择多少枚硬币时,无论点P的位置如何均可保证获胜? 6．(2009年清华大学)有64匹马,每匹马的速度保持不变且各不相同,现通过比赛来完成排名,若每场比赛最多只能有8匹马参赛,问理想状态下能否在50场比赛内完成排名? 7．(2009年清华大学)有100个集装箱,每个集装箱装有两件货物.在取出来的过程中货物的顺序被打乱了,现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中.集装箱的体积都是1,且每个集装箱最多放两件货物,若装了一件货物后装不下第二件货物,那么就将这个集装箱密封,把第二件货物装到下一个集装箱中.问在最坏情况下需要多少个集装箱? 8．(2009年清华大学)请写出一个整系数多项式f(x),使得+是其一根. 9．(2010年清华大学)将长为n的棒锯开,要求锯成的每段长都是整数,且任意时刻,锯成的所有棒中最长的一根严格小于最短的一根的2倍,如6只能锯一次,6=3+3,而7能锯2次,7=4+3,4又能锯为2+2,问长为30的棒最多能锯成几段? 若a,b,c中没有1,则a≥2,b≥2,c≥2, a+b+c=abc化为++=1, 而1=++≤++=,显然不成立. ∴三角形三内角的正切值分别为1,2,3. 即满足三内角的正切值分别为1,2,3的三角形,即为所求. 【解析】无 4.1.首先设六个村庄到达公路的距离之和为S0,车站P到六个村庄的距离之和为S,下面我们根据车站所建的位置来讨论它到六个村庄的距离之和. (1)建在A、B之间(包括端点A),则 S=AP+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0+4PB. (2)建在B、C之间(包括两端点B、C),则 S=PA+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0. (3)建在C、D之间(包括端点D),则 S=PA+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0+2PC. (4)建在D、E之间(包括端点E),则 S=PA+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0+2PC+2PD. (5)建在A的左侧或E的右侧,则S均比情况(2)中的大. 综合以上各种情况,我们可以发现:当车站建在B、C之间(包括端点B、C)时最合适. 币.于是由结论①可知A可获胜. ③对于4个位点线段的情况,A只要选择8枚硬币,不妨设点P为P1,P2,P3三点中的一点,并设点P4处有硬币S枚,则点P4处的硬币尽可能移到点P3处后,点P1,P2与P3处共有:8?S+[]≥4 ②左半环内有7枚硬币. a.若这7枚硬币全在点P7处,则看右半环内的4枚硬币,若点P1处有2枚,则将其移动到点P7处后,点P7处就有8枚硬币,就能保证通过左半环的通路移动硬币,最终让点P处有硬币;若点P1处仅有1枚或没有硬币,则可将点P7处的硬币移动3枚到点P1处,再将点P1处的硬币移动到点P2处后,点P2与点P3处的硬币就不少于4枚.这样,通过右半环的通路,最终可将至少1枚硬币移动到点P4处. b.若这7枚硬币不全在点P7处,则将点P7处的硬币移到点P6处后,在点P5与点P6两处的硬币就不少于4枚.于是通过左半环的通路,最终也可保证有硬币移动到点P4处. ③左半环有6枚硬币,则右半环就有5枚硬币. a.左半环内的6枚硬币全在点P7处,将它们移动到点P1处后,右半环内就有了8枚硬币,则通过右半环的通路,可最终保证至少移动1枚硬币到点P4处. b.左半环内的6枚硬币,点P7处有5枚,则再看点P1处,若点P1处的硬币数不足2枚,则在点P2与点P3处就有4枚硬币,则从右半环的通路,就能移动硬币到点P4;若点P1处的硬币数有2枚或2枚以上,