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欢迎各位同学来到数学分析课堂！ 绪 论 数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。 （牛顿、莱布尼兹认为数学成为研究运动与变化的学问， 19世纪，恩格斯提出这样的定义） 从常量数学到变量数学 常量数学应用的局限性 建立了日心学理论之后，17世纪的人们面临如何改进计算行星位置，如何解释地球上静止的物体保持不动，下降的物体还落在地球上等问题，这类问题的核心是物体的运动。带有运动特征的问题，初等数学（算术，初等代数，初等几何，三角）无能为力。 数学基础是解析几何，标志为微积分。 1）解析几何的产生 解析几何学是借助坐标系，用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支，也叫坐标几何。由法国数学家笛卡儿和费尔马等人创建（1637年）。 解析几何的发明是变量数学的第一个里程碑。从根本上改变了数学的面貌，使数学从此跨入了一个崭新的时代，即从常量数学进入变量数学的时代，从而大大地促进了数学的发展。 2）函数概念的出现 16世纪开始，科学家认为运动是最基本的物理现象，因此自然科学研究的中心问题是运动，各种变化的过程和变化着的量之间的依赖关系成为新的研究对象，科学家相信运动可以用数学来描述，于是出现了函数的概念。 函数概念的出现最早在17世纪，但它的 定义直到19世纪才形成，函数概念本身的发展直到现在还在继续。 在17世纪探索微积分的至少有十几位大数学家和几十位小数学家。这些前驱者对于求解各类微积分问题确实作出了宝贵的贡献，但他们的方法仍然缺乏足够的一般性。求切线，求变化率、求极大极小值以及求面积、体积等基本问题，在当时是被作为不同类型处理的。 牛顿和莱布尼茨正是在这样的时刻出场的。时代的需要与个人的才识，使他们完成了微积分创立中最后也是最关键的一步。 微积分的出现具有划时代意义，时至今日，它不仅成了学习高等数学各个分支必不可少的基础，而且是学习近代任何一门自然科学和工程技术的必备工具。 变量数学产生的意义 1）变量数学的产生，为自然科学更精确地描述物质世界提供了有效的 工具。 2）变量数学的产生，促进数学自身的 发展与严密。 产生新的数学分支，如解析数论，微分几何等。 解决了第一次，第二次数学危机，建立了极限理论，完成了实数的定义等，使数学更加严密。 3）变量数学的产生，使辩证法进入数学。 辩证法把世界现象看作是普遍联系和永恒变化着的，把世界的发展看作是自身所固有的各种矛盾发展的结果。变量数学的许多概念如函数极限导数积分等，从哲学上讲，就是辩证法在数学中的应用，而微积分的完善就是自身矛盾发展的结果。 因此，变量数学的产生，为辩证法进入数学提供了契机，并且为辩证法具有普遍性的论断，在数学上提供了有力的证明。 三、初等数学与高等数学的区别 17世纪以前的数学称为初等数学，研究的是常量间的代数运算和孤立的、不变的几何形体内部及相互间的关系。 初等数学主要采用形式逻辑法，静止地、孤立地、一个一个地 进行研究；高等数学则是以运动的、变化的观点去研究问题。 数学分析是一门非常重要的基础理论课，它对后续课程有直接影响，关系到整个专业基础课学习的成败、关系到同学们的素质培养，对同学将来从事专业科学研究起着非凡的作用，其核心内容是微积分。 微积分对科学技术的重要性就象望远镜之于天文学，显微镜之于生物学。 微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是科学史上的一个创举。 四、怎样学好数学分析 2、教学特点 3、对学生的要求——会学（不只是学会） 4 、参考书 《数学分析同步辅导》（彭舟 姬燕妮编） （共2册） *《数学分析习题精解》（吴良森等编） （共2册） 《数学分析习题集题解》（吉米多维奇） （共6册） 第一章 实数集与函数 第一节 实数 2、实数的比较 （二）对于负实数x，y，若- x = - y， 则称x = y； 若- x - y，则称x y或y x。 定义2 （1）非负实数 称有理数 （2）对于负实数 命题 设 则xy的等价条件是：存在非负整数n，使得