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* Quantum mechanics §3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系 */26 第三章 量子力学中的力学量 * Quantum mechanics 本章目录 第三章 量子力学中的力学量 §3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系 Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation 一、算符间的对易关系(Commutation relation of operators) 二、对易关系的物理意义 (Physical significance of commutation relation) 三、非对易关系的物理意义——测不准关系 (Physical significance of commutation relation Uncertainty relation ) 1,基本对易式: §3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系 Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation 一、算符间的对易关系(Commutation relation of operators) 2,角动量算符的对易式: 角动量算符定义: εαβγ—列维--斯维塔(Levi-Civita)符号 同理可证: [例题]证明(原课件): 因?是任意的函数,所以 解:取任意函数?,由于 解:因为 [例题]证明(原课件): 又因为 证明:设 即有 一般情况:设任意波函数态为?,因φn组成完备系,所以 二、对易关系的物理意义 (Physical Significance of commutation relation) 1,定理1 :如果两个算符F和G有一组共同的本征函数 φn ,而且组成完备系,则算符F和G对易. 证明:(1),非简并,设 2,定理2 :如果两个算符F、G对易,则这两个算符有 共同的本征函数,这些本征函数组成完备系. 又因fn 是无简并的,所以: (2),简并时:设F的本征值fn有简并,简并度为sn g 是 的本征值 G ^ 为了?n也是 的本征函数,令 G ^ 显然:?n是 的本征函数,本征值为fn. F ^ 同时左乘 ,积分 ①,若无重根:可解出sn个gj (j=1,2,…) 分别将gj代入前式可得对应于每个gj的一组解 所以相应的波函数 F ^ 即: ?nj 是 、 的共同本征函数,本征值分别为fn,gj G ^ 所以: F ^ 属于fn 的sn个本征函数?ni G ^ 可按 的sn个本征值gj来分类 一组(fn,gj ) ? 确定的本征函数?nj ,sn 度简并解除. 对易关系的物理意义: 若两算符对易,则两算符存在共同本征函数.在其共同本征函数所描写的态中,两算符表示的力学量同时有确定的值. 因为 的本征函数 ?nj 构成完全系,所以 、 的共同本征函数也组成完全系. F ^ G ^ F ^ F ^ G ^ ②,若 有重根:则还需再找出与 、 对易的力学量,才能确定体系的状态. 相应的本征值为:px,py,pz 共同本征函数 在?nlm态下,能量,角动量平方,角动量z分量同时具有确定值. 3,力学量完全集 要完全确定系统所处的状态,需要一组相互对易的力学量(通常通过它们的本征值),这一组完全确定体系状态的力学量称之为力学量的完全集合. 如: L2 本征值有简并: 确定的l(l+1)h2,有 2l +1 个要完全确定状态Ylm(θ,φ) ,需确定m,当l,m同时确定时,状态才能唯一确定.而m与力学量Lz相对应.即需另找一个与L2对易的力学量,才能确定完全状态. 例:①,三维空间中自由粒子的自由度是3, 完全确 定它的状态需三个力学