辽宁省新民市第一高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷.docx
2023-2024学年度新民市第一高级中学月考试卷
高二数学
考试范围：选择性必修一选择性必修二4.2.2；考试时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．如图：在平行六面体中，为的交点．若，则向量（）
A． B． C． D．
2．已知随机变量的分布列为，则（）
A． B． C． D．
3．开学初，学校将新转学来的等五名同学分配到甲、乙、丙、丁四个不同的班级，每个班至少分一人，则两人被各自单独分往一个班级的不同分配方法种数有（）
A．36种 B．48种 C．72种 D．144种
4．两条平行直线和间的距离为，则的值分别为（）
A． B．
C． D．
5．如图，二面角的度数为，其棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则线段的长为（）
A． B．41 C．73 D．
6．双曲线的渐近线方程为，则双曲线离心率为（）
A．或 B．或 C． D．2
7．已知点在直线上，则的最小值为（）
A． B． C． D．
8．已知圆，直线与圆相交于两点，若圆上存在点，使得为正三角形，则实数的值为（）
A． B． C．或 D．或
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．已知随机事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（）
A．若与互斥，则
B．若与相互独立，则
C．若，则事件与相互独立
D．若，则
下列结论正确的是（）
A．直线的倾斜角大于
B．直线过定点
C．直线与直线之间的距离是
D．与点的距离为1，且与点的距离为4的直线共有4条
11．已知正方体的棱长为2，若的中点分别为，则下列说法正确的是（）
A． B．
C．平面 D．点到平面的距离为
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若方程所表示的直线恒过定点，点在以点为圆心，的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（）
A．椭圆的离心率为 B．的面积可能为2
C．的最大值为4 D．的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．现有五人排成一列，其中与相邻，不排在两边，则共有_______种不同的排法（用具体数字作答）．
14．已知圆与圆相交于两点．则_______．
15．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则_______．
16．设，则_______，_______．（均用数字作答）
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知展开式前三项的二项式系数和为22．
（1）求展开式中各项的二项式系数和；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中二项式系数最大的项．
18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小．
19．已知椭圆的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点．
（1）若是线段的中点，求直线的方程；
（2）若直线经过点（点在点之间），直线与的另一个交点为，求证：点，关于轴对称．
20．在一个有奖游戏中，参与者可从A，B两类数学试题中选择作答，答题规则如下：
规则一：参与者只有在答对第一次所选试题的情况下，才有资格进行第二次选题，且连续两次选题不能是同一类试题，每人至多有两次答题机会；
规则二：参与者连续两次选题可以是同一类试题，答题次数不限．
（1）小周同学按照规则一进行答题，已知小周同学答对A类题的概率均为0.75，答对一次可得2分；答对B类题的概率均为0.6，答对一次可得3分．如果答题的顺序由小周选择，那么A，B两类题他应优先选择答哪一类试题？请说明理由；
（2）小南同学按照规则二进行答题，小南同学第1次随机地选择其中一类试题作答，如果小南第1次选择A类试题，那么第2次选择A类试题的概率为0.6；如果第1次选择B类试题，那么第2次选择A类试题的概率为0.8．求小南同学第2次选择A类试题作答的概率．
21．如图，在四棱锥中，，四边形是正方形，是棱上的动点，且．
（1）证明：平面；
（2）是否存在实数，使得平面与平面所成夹角的余弦值是？若存在．求出的值；若不存在，请说明理由．
22．已知为圆的圆心，是圆上的动点，点，若线段的中垂线与相交于点．
（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与点的轨迹分别相交于两点，且与圆相交于两点，求的取值范围．
数学月考参考答案：
1．B【详解】因为，所以
．
2．C【详解】根据题意，随机变量的分布列为，由分布列的性质