辽宁省新民市第一高级中学2023-2024学年高二下学期期初考试数学试卷.docx
2023-2024学年度新民市第一高级中学学期初试卷
高二数学
考试范围：选择性必修一~选择性必修二；考试时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．）
1．已知在空间单位正交基底下,是空间的一组单位正交基底,是空间的另一组基底．若向量在基底下的坐标为,则向量在基底下的坐标为（）
A．B．C．D．
2．在空间直角坐标系中，四面体的顶点坐标分别是．则点B到面的距离是（）
A．B．C．D．
3．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）
A．B．C．或D．或
4．已知圆,当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为（）
A．B．C．D．
5．已知P为双曲线的左焦点，P,Q为双曲线C右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为（）
A．28B．36C．44D．48
6．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）
A．1440种B．960种C．720种D．480种
7．某学校高三模拟考试中数学成绩X服从正态分布,考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为人．（）
参考数据：
A．261B．341C．477D．683
8．已知学生的数学和地理成绩具有线性相关关系，高三某次模考中，5名学生的数学和地理成绩如下表：
学生的编号i
1
2
3
4
5
数学成绩x
100
105
90
85
80
地理成绩y
75
■
68
64
62
现已知其线性回归方程为,则“■”代表该生的地理成绩为（）
A．76B．74.85C．73D．72.5
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．）
9．如图，一个结晶体的形状为平行六面体,其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（）
A．B．
C．向量与的夹角是D．与所成角的余弦值为
10．已知椭圆与双曲线，下列关于两曲线的说法正确的是（）
A．的长轴长与的实轴长相等B．的短轴长与的虚轴长相等
C．焦距相等D．离心率不相等
11．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为．则其中正确命题的序号是（）
A．①B．②C．③D．④
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．已知P是椭圆上异于点的一点，E的离心率为，则直线与的斜率之积为____________．
13．直线l过抛物线的焦点,且与C交于A,B两点，则____________，____________．
14．设,则____________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）如图，在四棱锥中，平面,底面为正方形，E为的中点．
（1）求证：平面;
（2）若,求平面与平面夹角的余弦值．
16．（15分）已知椭圆经过两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知直线与x轴交于点,与椭圆E交于两个不同的点是坐标原点，求的面积S．
17．（15分）已知两两垂直，为的中点，点N在上，．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
（Ⅲ）若点P在线段上，设，当时，求实数的值．
18．（17分）已知抛物线的焦点为F,原点为O,过F作倾斜角为的直线l交抛物线C于A,B两点．
（1）过A点作抛物线准线的垂线，垂足为,若直线的斜率为，且,求抛物线的方程；
（2）当直线l的倾斜角为多大时，的长度最小．
19．（17分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第