常州市2015届高三第一学期期末调研测试数学试卷.doc

常州市2015届高三第一学期期末调研测试 数学Ⅰ试题 2015年2月 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 设集合，，则= ▲ ． 设复数（，i为虚数单位，则的值为 ▲ ． 已知双曲线的离心率为，则实数a的值为 ▲ ． 函数的定义域为 ▲ ． 函数的最小正周期为 ▲ ． 右图是一个算法流程图，则输出的的值是 ▲ ． 现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 ▲ ． 若实数满足约束条件则目标函数的最小值为 ▲ ．在点处的切线方程为 ▲ ． 已知函数，则函数的值域为 ▲ ． 已知向量，，设向量满足，则的最大值为 ▲ ．的公比为（），前n项和为，若，且与的等差中项为，则 ▲ ．对任意满足的实数恒成立，则实数的最大值为 ▲ ．中，已知圆，圆均与轴相切且圆心与原点，两点横坐标之积为与圆相交于两点：，则点与直线上任意一点之间的距离最小值为．6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，． （1）求的值；（2）求的值；（3）若，求△ABC的面积． 16．（本小题满分14分） 如图，四棱锥的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD⊥平面 ABCD， PB=PD，⊥，⊥，，分别是，的中点，连结．求证： （1）∥平面； （2）⊥平面． 17．14分） 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为（m），三块种植植物的矩形区域的总面积为（m2）． （1）求关于的函数关系式； （2）求的最大值． 18．（本小题满分16分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率过椭圆的右焦点，且交椭圆于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，过点作垂直于轴的直线直线交于点变化时，是否存在一条定直线，使得点恒在上？若存在的方程；若不存在19．（本小题满分16分） 已知数列（，）满足， 其中，． （1）当时，求关于的表达式，并求的取值范围； （2）设集合． ①若，，求证：； ②是否存在实数，，使，，都属于？若存在，；若不存在20．（本小题满分16分） 已知为实数，函数，函数． （1）当时，令，求函数的极值； （2）当时，令，是否存在实数，使得对于函数 定义域中的任意实数，均存在实数，有成立，若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由． 数学Ⅱ（附加题） 2015年2月 21．【选做题】在A、B、C、D 10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—1：几何证明选讲 已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是是半圆的点.PC经过点. B．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵满足：，其中是互不相等的实常数， 是非零的平面列向量，，，求矩阵. C．选修4—4：坐标系与参数方程 已知两个动点，分别在两条直线和上运动，且它们的横坐标分别为角的正弦，余弦，.记，求动点的轨迹的普通方程. D．选修4—5：不等式选讲 已知，证明：. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分) 一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的五种商品有购买意向.已知该网民购买两种商品的概率均为，购买两种商品的概率均为，购买种商品的概率为.假设该网民是否购买这五种商品相互独立. （1）求该网民至少购买4种商品的概率； （2）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望. 23．（本小题满分10分） 设个正数（且）． （1）当时； （2）当时也成立（且）个正数 参考答案及评分标准 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1． 2． 34． 5． 6．7．8．1 9．10．11．12． 13． 14． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：，， 所以．