常州市2015-2016学年第一学期高三数学期中理科试卷.doc

2016届第一学期期中考试 高三理科数学试题 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上） 1．已知集合，集合，则 ▲ ． 2．已知是复数，是虚数单位，若，则= ▲ ． 3．已知命题则命题的否定是 ▲ ． 4．函数的定义域是，则函数的定义域为 ▲ ． 5．执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为3，则可输入的实数的个数为 ▲ ． 6．已知，则 ▲ ． 7．若实数，满足约束条件，则的取值范围是 ▲ ． 8．已知向量，设，，若，则实数k的值为 ▲ ． 9．已知函数的图象与直线的三个交点的横坐标分别为、、，其中，那么的值为 ▲ ． 10．已知、为正实数，且，则的最小值为 ▲ ． 11．设函数，，，，使得，则实数的取值范围是 ▲ ． 12．已知非零向量，满足，则与的夹角为 ▲ ． 13．已知定义在R上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，则满足的实数的取值范围是 ▲ ． 14．定义域为的偶函数满足对，有，且当 时，，若函数在R上至少有四个零点，则的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分） 在中，的对边分别为，且. ⑴ 求的值; ⑵ 若，，求和. 16．（本题满分14分） 如图，在矩形中，，点是边的中点，点在边上． ⑴ 若是对角线的中点， ，求的值； ⑵ 若，求线段的长． 17．（本题满分14分） 如图所示，AB是半径长为1的半圆的一条直径，现要从中截取一个内接等腰梯形ABCD，设梯形ABCD的面积为. ⑴ 设，将表示成的函数关系式并写出其定义域； ⑵ 求梯形ABCD面积的最大值. 18．（本题满分16分） 如图，在平面直角坐标系中，点在单位圆上，，且． ⑴ 若，求的值； ⑵ 若也是单位圆上的点，且．过点分别做轴的垂线，垂足为，记的面积为，的面积为．设，求函数的最大值． 19．（本题满分16分） 已知点(p，q)是平面直角坐标系上一点，是方程的两个实根，记（表示中的较大值）. ⑴ 过点作抛物线L：的切线交y轴于点B，对线段AB上的任一点Q(p，q)，求的值； ⑵ 设，当点(p，q)在区域D上运动时，求的最小值和最大值. 20．（本题满分16分） 已知函数． ⑴ 求的单调区间； ⑵ 若在上的最大值是，求的值； ⑶记，当时，若对任意，总有成立，试求的最大值. 高三理科数学参考答案及评分意见 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1． 2． 3． 4． 5．2 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14． 二、解答题：（本大题共6道题，计90分） 15．（本小题满分14分） 解：⑴由正弦定理得，，， 又，∴，…………………2分 即，∴， …………………4分 ∴，又，∴ . …………………7分 ⑵由得，又，∴ …………………9分 由，可得， …………………11分 ∴，即，∴. …………………14分 16．（本题满分14分） 【解】：⑴∵，…………………4分 ∴ …………………6分 ∴． …………………7分 ⑵设，则， ∴， ， …………………10分 又， ∴= ， ∴， …………………12分 ∴，即DF的长为1． …………………14分 也可以建立平面直角坐标系，表示出与的坐标，阅卷根据情况酌情给分. 17．（本题满分14分） 解：⑴解：如图所示，以直径所在的直线为轴，线段中垂线为轴，建立平面直角坐标系，过点C作于E， ∵，∴， …………………2分 ∴ …………………6分 (说明：若函数的定义域漏写或错误，则扣2分) ⑵(方法1)∴， 令， 则，…………………10分 ∴当时，，∴函数在(0，)上单调递增， 当时，，∴函数在(，1)上