09级课堂练习题.doc

例题1：下列波函数中，哪些与描述同一状态？ ，，，， 例题2：设，为常数，求归一化常数A。 解： （用高斯积分） ，取，则。 例题3：设，求粒子的位置几率的分布，此波函数能否归一化？ 解：，即空间中任何位置发现几率相同都为1，且，故不能归一化，事实上 例题4：设粒子波函数为，求在范围中找到粒子的几率。 解：在范围内发现粒子的几率为 ， 若只计范围内，不计y，z范围，发现粒子的几率，由概率论知识，上式应对随机变量y，z积分 。 例题5:设用球坐标表示，粒子波函数表为， 求（1）粒子在球壳中被测到的几率，（2）在方向的立体角元中找到的粒子的几率。 解： 为在范围内发现粒子的几率。 （1）只计范围内的几率，上式对积分 （2）在方向的立体角元中找到的粒子的几率为 例题6：束缚态、非束缚态及相应能级的特点。 解：束缚态 粒子在一定范围内运动，时，波函数趋于0，能级分立； 非束缚态 粒子的运动范围无限制，时，波函不数趋于0，能级连续分布。 例题7：设粒子处于无限深势阱中 ， 证明处于定态的粒子，，。 证明：处于该势阱中的粒子的波函数为 例题8：设粒子处于二维无限深势阱中 求粒子的能量本征值和本征波函数。如果，能量的简并度如何？ 解：哈密顿算符为， ，； ，， 设波函数为，带入定态薛定谔方程，分离变量后有 方程（1）的解为，； 方程（2）的解为，， 粒子的总能量为 粒子的波函数为 。 若，令 且简并度为。 例题9：各种不同区间的无限深势阱 （1）（周世勋课本例题）一粒子在一维势场 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解： 本征值为 本征函数为 （2）（周世勋课后习题2.3）一粒子在一维势场 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解：无关，是定态问题。其定态S—方程： 在各区域的具体形式为 Ⅰ：① Ⅱ：② Ⅲ：③ 由于①、③方程中，由于，要等式成立，必须 ， 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程②可变为 令，得 其解为 ④ 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 ∴ 由归一化条件 得 由 因为 ，所以，可见E是量子化的。 对应于的归一化的定态波函数为 （3）一粒子在一维势场 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解： 本征值为 本征函数为 （4）一粒子在一维势场 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解： 本征值为 本征函数为 例题10：求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况。 解：三维谐振子哈密顿量为 本征方程及其能量本征量 方程的解为 其中 ， 当N确定后，能量本征值也确定，但对应同一N值，有多种不同组合，相应于若干个不同量子状态，这就是简并。对于的组合方式数列表如下 组合方式（组） 0 0,1,2,3，…，N N+1 1 0,1,2,3，…，N-1 N 2 0,1,2,3，…，N-2 N-1 … … … N 0 1 ，确定了，也确定了，不再增加不同组合的组数。组合数即为简并度。 s维各向同性谐振子能量为，简并度为 例题11：荷电的谐振子，受到沿方向外电场的作用，其势场为 求能量本征值和本征函数。 解：思路：是在谐振子势上叠加项，该项是的一次项，二振子势是二次项。可以把势场重新整理成坐标变量平方形式，就有可能利用已知的一维线性谐振子的结果。改写 进行坐标变换， 所以哈密顿量为 新的薛定谔方程为 ， 用已知结果得