09级课堂练习题.doc
文本预览下载声明
例题1:下列波函数中,哪些与描述同一状态?
,,,,
例题2:设,为常数,求归一化常数A。
解:
(用高斯积分)
,取,则。
例题3:设,求粒子的位置几率的分布,此波函数能否归一化?
解:,即空间中任何位置发现几率相同都为1,且,故不能归一化,事实上
例题4:设粒子波函数为,求在范围中找到粒子的几率。
解:在范围内发现粒子的几率为
,
若只计范围内,不计y,z范围,发现粒子的几率,由概率论知识,上式应对随机变量y,z积分 。
例题5:设用球坐标表示,粒子波函数表为, 求(1)粒子在球壳中被测到的几率,(2)在方向的立体角元中找到的粒子的几率。
解: 为在范围内发现粒子的几率。
(1)只计范围内的几率,上式对积分
(2)在方向的立体角元中找到的粒子的几率为
例题6:束缚态、非束缚态及相应能级的特点。
解:束缚态 粒子在一定范围内运动,时,波函数趋于0,能级分立;
非束缚态 粒子的运动范围无限制,时,波函不数趋于0,能级连续分布。
例题7:设粒子处于无限深势阱中
,
证明处于定态的粒子,,。
证明:处于该势阱中的粒子的波函数为
例题8:设粒子处于二维无限深势阱中
求粒子的能量本征值和本征波函数。如果,能量的简并度如何?
解:哈密顿算符为,
,;
,,
设波函数为,带入定态薛定谔方程,分离变量后有
方程(1)的解为,;
方程(2)的解为,,
粒子的总能量为
粒子的波函数为
。
若,令
且简并度为。
例题9:各种不同区间的无限深势阱
(1)(周世勋课本例题)一粒子在一维势场
中运动,求粒子的能级和对应的波函数。
解:
本征值为
本征函数为
(2)(周世勋课后习题2.3)一粒子在一维势场
中运动,求粒子的能级和对应的波函数。
解:无关,是定态问题。其定态S—方程:
在各区域的具体形式为
Ⅰ:①
Ⅱ:②
Ⅲ:③
由于①、③方程中,由于,要等式成立,必须
, 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程②可变为
令,得
其解为 ④
根据波函数的标准条件确定系数A,B,由连续性条件,得
∴
由归一化条件
得
由
因为 ,所以,可见E是量子化的。
对应于的归一化的定态波函数为
(3)一粒子在一维势场
中运动,求粒子的能级和对应的波函数。
解:
本征值为
本征函数为
(4)一粒子在一维势场
中运动,求粒子的能级和对应的波函数。
解:
本征值为
本征函数为
例题10:求三维谐振子能级,并讨论它的简并情况。
解:三维谐振子哈密顿量为
本征方程及其能量本征量
方程的解为
其中
,
当N确定后,能量本征值也确定,但对应同一N值,有多种不同组合,相应于若干个不同量子状态,这就是简并。对于的组合方式数列表如下
组合方式(组) 0 0,1,2,3,…,N N+1 1 0,1,2,3,…,N-1 N 2 0,1,2,3,…,N-2 N-1 … … … N 0 1 ,确定了,也确定了,不再增加不同组合的组数。组合数即为简并度。
s维各向同性谐振子能量为,简并度为
例题11:荷电的谐振子,受到沿方向外电场的作用,其势场为
求能量本征值和本征函数。
解:思路:是在谐振子势上叠加项,该项是的一次项,二振子势是二次项。可以把势场重新整理成坐标变量平方形式,就有可能利用已知的一维线性谐振子的结果。改写
进行坐标变换,
所以哈密顿量为
新的薛定谔方程为
,
用已知结果得
显示全部