数值分析实验三分段线性插值.docx
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数值分析实验报告
专业：计算机科学与技术
班级：14汉（2）
学号：20141501069
姓名：于童
指导教师：马季骕老师
实验项目分段线性插值
算法介绍
随着插值节点的增加，插值多项式的次数也增加，而对于高次的插值容易带来剧烈的震荡，带来数值的不稳定（Runge现象）。为了既要增加插值的节点，减小插值的区间，以便更好的逼近插值函数，又要不增加插值多项式的次数以减少误差，可采用分段线性插值。
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求一个函数(x)用来近似函数f(x)，用分段线性插值的方法来求解近似函数(x)并画出近似函数图像及原函数图像。
设在区间[a,b]上，给定n+1个插值节点和相应的函数值，求一个插值函数，满足以下条件：
（1）;
（2）在每一个小区间[]上是线性函数。
对于给定函数。在区间上画出f(x)和分段线性插值函数的函数图像。
分段线性插值的算法思想 分段线性插值需要在每个插值节点上构造分段线性插值基函数，然后再作它们的线性组合。分段线性插值基函数的特点是在对应的插值节点上函数值取 1，其它节点上函数值取0。插值基函数如下：
设在节点a≤x0x1…≤b=f(xi),(i=0,1,2,…,n)求折线函数L（x）满足：
（1）L(x)∈C[a,b]
（2）L(x[i]=y[i])
（3）L(x)在每个小区间（x[i],x[i+1]）上是线性
插值函数￠（x）叫做区间[a,b]上对数据（x[j],y[j]）(j=0,1,2,…,n)的分段区间函数。
利用一介拉格朗日函数，直接得到线性插值函数为：
L(x0)=（x-x[1]）/x[0]-x[1];(x[0]≤x≤x[1])
L(x0)=0(x[1]≤x≤x[n])
分段线性方程的表达式：
￠（x）=∑(j=0,..,n)y[j]*L[j](x);
实验源代码 void CMy20141501069View::Onxxcz()
{
// TODO: Add your command handler code here
int x00=300,y00=350,i,j;
double x;
CDC *pDC=GetDC();
pDC-SetMapMode(MM_LOMETRIC);
pDC-SetViewportOrg(x00,y00);
//画坐标轴与原函数
for(i=-700; i=700; i++)
{
pDC-SetPixel(i,0,RGB(0,0,0));
pDC-SetPixel(0,i,RGB(0,0,0));
}
double yx[]={-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1};
double yy[14];
for(i=0; i=10; i++)
{
yy[i]=1.0/(1+25*yx[i]*yx[i]);
}
pDC-TextOut(-30,-10,0);
pDC-TextOut(-30,430,1);
pDC-TextOut(490,-10,1);
pDC-TextOut(-490,-10,-1);
pDC-MoveTo(-10,680); //x箭头
pDC-LineTo(0,700);
pDC-MoveTo(0,700);
pDC-LineTo(10,680);
pDC-MoveTo(680,10); //y箭头
pDC-LineTo(700,0);
pDC-MoveTo(700,0);
pDC-LineTo(680,-10);
pDC-TextOut(-30,700,y);
pDC-TextOut(700,-10,x);
// 线性分段差值的图像
CPen pen;
CPen*oldpen;
pen.CreatePen(PS_SOLID,5,RGB(0,0,0));
oldpen=pDC-SelectObject(pen);
for(i=0; i10; i++)
{
pDC-MoveTo(yx[i]*480,yy[i]*400);
pDC-LineTo(yx[i+1]*480,yy[i+1]*400);
}
}
实验结果
结果分析 分段线性插值的方法克服了Lagrange插值法当节点不断加密时，构造的插值多项式的次数不断升高，高次多项式虽然是连续的，但是不一定都收敛到相应的被插函数而产生Runge现象。分段线性插值因为在每一段小区间上都是线性插值而极大地降低了插值多项式的次数，从几何图形上可以看出，当节点取得较多时插值函数的逼近效果还是很好
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