固体物理索末菲模型课件.pptx

8.2 索末菲的量子自由电子论 • 前提:物理学家泡利提出了不相容原理：一切由自旋 等于半整数的粒子—— 费米子组成的系统中，不能有 两个或两个以上的粒子处于完全相同的状态。这一原 理推动了电子自旋概念的确立。 • 费米和狄拉克分别在泡利不相容原理及玻尔兹曼统计 基础上,提出电子服从某一统计规律,后来称为费米－ 狄喇克统计分布。 1 5.2.1 索末菲自由电子气模型 • 独立电子：电子之间无相互作用 • 自由电子：近似于自由电子,即单电子近似。 • 忽略离子作用，不考虑碰撞，忽略晶格周期场。 • 引入了泡利不相容原理 • 服从费米－狄喇克统计分布 • 根据量子力学的波动现象，电子的波函数满足自由电 子的薛定谔方程。 2 8.2.2索末菲电子气的能量状态 8.2.2.1 无限势阱 定态薛定谔方程的解 l一维金属晶体中自由电子的能级 波函数在X=0~L区间归一化 3 式中， n=1,2,3﹍这正 好表明金属丝中自由 电子的能量不是连续 的，此处的n仅代表 自由电子的可取能级。 每个能级可容纳两个 自旋方向相反的电子。 设一电子在边长为L的立方体金属块中运动，取势阱内 •三维金属自由电子的能级 解得自由电子的波函数是： 自由电子的能量是： 4 采用分离变量法求解，令 三维定态薛定谔方程式为： 驻波边界条件： 归一化条件： 5 电子的状态可以有一组正整数来确定，波函数所描 述的金属块中的电子是在势垒的反射下做来回往复的运 动，尽管电子并不是静止的，但电子的平均动量和平均 速度等于零，与实际不符。此外，对于驻波态的解，当 L趋于无穷大，得不到平面波。 人们采用波恩-卡门条件即所谓的周期边界条件让 电子波函数能够在三维相界面上周期性重现，来求得行 波解。 经上 解得电子的波函数的驻波解 电子的能量 6 自由电子定态波函数的行波解为： 有此求得波矢 7 补充 8 9 10 11 12 13 14 薛定谔方程简介 15 16 5.2.2 单电子的本征态和本征能量 1.电子气的本征态 v该解称为驻波解，表示晶体内电子的平均动量和平 均速度为0，和实际不符，不利于处理金属内部电 子的输运问题。所以选用周期性边界条件，获得行18 第一种解法：驻波解 波解。 通过周期性边界条件导致了波矢k 的量子化。 金属中电子的能量是不连续的、分立的，每一组nx、 ny 、 nz确定了一个波矢k，对应两个量子态。 19 它是自由电子波函 数，是前进的平面 波，称为行波解 第二种解法：行波解 波矢k 20 21 图2.5 K空间的状态分布 • 由于每一个k对应于一个能量状态(能级)， 每个能带中共有N个能级，因固体物理学原胞数N 很大，一个能带中众多的能级可以近似看作是连 续的，称为准连续。 • 由于每一个能级可以容纳两个自旋方向相 反的电子，所以每个能带可以容纳2N个电子。 22 其中 23 说 明 Ø 电子平面简谐波形式存在于金属晶体中，其波 长由k确定，而k又取决于倒易矢量b，每个倒易矢 量b都与晶格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族 晶面的面间距。 Ø故k的取值为l×b/n，即l×2π/na时，意味着电子波 长 为na/l，即L/l， na代表了某方向的晶体的长度 L，且该平面波与晶面垂直。 Ø可见金属晶体边长L是电子波长的l倍，这里采用 了波恩-卡门周期性边界条件。 Ø驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩 -卡门周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求24 更加宽松 作业 • 1 简要说明索末菲模型的主要内容.及其与特 鲁德模型的区别. • 2 写出单电子近似条件下,金属晶体中的定态 薛定谔方程及电子的波函数,利用周期性边界 条件推导金属中电子的能量.说明量子化成立 的条件. 25