理论力学(周衍柏)习题集答案解析,第五章.docx
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-cosa rcos2
-cosa rcos2 二一 =0
第五章习题解答
5.1解如题5.1.1图
杆受理想约束,在满足题意的约束条件下杆的位置可由杆与 水平方向火角a所唯一确定。/r的自由度为1,由平衡条件:
mg 力 y =0?
变换方程
/ a—sin q
TOC \o 1-5 \h \z yl =2rcosfl! sinflf - 2 = rsin2 2 (2
格,1, V 2r cos 2cc 1 cos Ci
2 /叵
代回①式即
1 )
2r cos(3f■■/ cos it(5a= 0
2 j
因5q在约束下是任意的,要使上式成立必须有:
5.3
5.3解如题5.3.1图,
13 = 0
13 = 0
.4rcos2o;
COSGf ④
又由于
c2 -2r
cos2 二二 二
代回④式得
5.2解如题5.2.1图
三球受理想约束,球的位置可以由4确定,
自由度数为1,故。
Xj = sin-0 + r)$in a
=2r sin fi- (/+r)si sin a
用二口 +『JCOS比
75=0 + 产)cos a
)3 = (? +r]cos] -2r cos §
物二-Q + rjsin
毋 m = _Q +r)sin ada
8 三二?(/ 4?r)sin drd(2f+2rsin . 8d
由虚功原理
4物+马a2+月弧二o a产
?(Z + rjsin 值 5 值一 1 + 八 5m qSq?(/ +r)那 a5a+ 2r sm R—(5af= 0
5a 0
因灰K在约束条件下是任意的,要使上式成立,必须
-3 (/ + r) sin cr+2rsin B- -0 6a
故
3a 2r sin § 第 3 (小 meta
又由的*泯力纵得:
Sa_ 2rgs f
羽(,+ 比。£口@)
由②③可得
tan £ = 3 tan 4
1
1 sin a ;
8 54 口
V
TF Vy
题 531-
在相距2a的两钉处约束反力垂直于虚位移,为理想约束。去掉纯代之以
力T,且视为主动力后采用虚功原理,4 一确定便可确定ABCD的位置
因此自由度数为1。选口为广义坐。
由虚功原理:
t 耳0 二 0
i-1
w期?7曲+7盘0 二。①
又
l=-/sin a= /sin atyc = 2Esa-acota
取变分得
=-/ cosdfJ Zcosdf Ja
=?2/疝 a5a= —%—3a
sin a
代入①式得:
TOC \o 1-5 \h \z ( QW-21 sin aSa-i—弓一60 +77
1 sin a ) ycosff + /cosApaf= 0
化简得
?(? QV
取 一 2/sin + 277cos 值
k sin a/
因(5a在约束条件下任意,欲使上式成立,须有:
( Q W- 2/ sin a + -z— + 277 cos a = 0
由此得
T = JFtan n — esc 区一 13
5.4解自由度£=1,质点位置为(力力
kdf+毕翁。
由己知得
=O
占+2然二。
印+2加。②
约束方程
联立②③可求得
x = 0 y = ±r
2厂或
又由于
y = ±r
R = +W
x = ±
x = ±
V =
R = -k2r
5.5解如题5.5.1图
JDya题
J
D
y
a
题S.S.I图
按题意仅重力作用,为保守系。因为已知羽二C,故可认为自由度为L 选广义坐标8二口,在球面坐标系中,质点的动能:
Z -■ (/: +西+/一刎)(其由代表指标瓦己切
由于所以4=」内廿户
由于
所以
4=」内廿户+C, W?
2
又由于
2mAa2
2mAa2 sin 2
di
T= Ts+T八+Te 二网夕铲 +G%、in26j
+ 2 为 Jsin290】
取Ox为零势,体系势能为:
V..2“(%+啊)*6
故力学体系的拉氏函数为:
L = T-y
伊 + O2 sina S)+ 2%/ sin2 戚 + 2ga (% 十燃Jgs5
5.6解如题5.6.1图.
必苟y) /
题56j图
(1)平面运动,一个自由度.
⑵选广义坐标为q=8,广义速度
(3)因未定体系受力类型,由一般形式的拉格朗日方程 里二。
dt\ dq j 学L Q
IQi 型二
广义力
代入①得:
T=[喀伊+r皆)
T=[喀伊+r皆)=1J
dt + 2(3 005- dt
4// cos2- + 4d(lAcos, @+o 铲
将以上各式代入②式得
阳口峭?2楹/加sinj+幽sin+ 2加。—g皿5=0
5.7解如题5.7.1图
又由于
所以 一
7T12 1
,3
取坐标原点为零势面
拉氏函数
y
*
y.= —^x 2a
v = wgy = mg — 4a ②
二
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