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理论力学(周衍柏)习题集答案解析,第五章.docx

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-cosa rcos2 -cosa rcos2 二一 =0 第五章习题解答 5.1解如题5.1.1图 杆受理想约束,在满足题意的约束条件下杆的位置可由杆与 水平方向火角a所唯一确定。/r的自由度为1,由平衡条件: mg 力 y =0? 变换方程 / a—sin q TOC \o 1-5 \h \z yl =2rcosfl! sinflf - 2 = rsin2 2 (2 格,1, V 2r cos 2cc 1 cos Ci 2 /叵 代回①式即 1 ) 2r cos(3f■■/ cos it(5a= 0 2 j 因5q在约束下是任意的,要使上式成立必须有: 5.3 5.3解如题5.3.1图, 13 = 0 13 = 0 .4rcos2o; COSGf ④ 又由于 c2 -2r cos2 二二 二 代回④式得 5.2解如题5.2.1图 三球受理想约束,球的位置可以由4确定, 自由度数为1,故。 Xj = sin-0 + r)$in a =2r sin fi- (/+r)si sin a 用二口 +『JCOS比 75=0 + 产)cos a )3 = (? +r]cos] -2r cos § 物二-Q + rjsin 毋 m = _Q +r)sin ada 8 三二?(/ 4?r)sin drd(2f+2rsin . 8d 由虚功原理 4物+马a2+月弧二o a产 ?(Z + rjsin 值 5 值一 1 + 八 5m qSq?(/ +r)那 a5a+ 2r sm R—(5af= 0 5a 0 因灰K在约束条件下是任意的,要使上式成立,必须 -3 (/ + r) sin cr+2rsin B- -0 6a 故 3a 2r sin § 第 3 (小 meta 又由的*泯力纵得: Sa_ 2rgs f 羽(,+ 比。£口@) 由②③可得 tan £ = 3 tan 4 1 1 sin a ; 8 54 口 V TF Vy 题 531- 在相距2a的两钉处约束反力垂直于虚位移,为理想约束。去掉纯代之以 力T,且视为主动力后采用虚功原理,4 一确定便可确定ABCD的位置 因此自由度数为1。选口为广义坐。 由虚功原理: t 耳0 二 0 i-1 w期?7曲+7盘0 二。① 又 l=-/sin a= /sin atyc = 2Esa-acota 取变分得 =-/ cosdfJ Zcosdf Ja =?2/疝 a5a= —%—3a sin a 代入①式得: TOC \o 1-5 \h \z ( QW-21 sin aSa-i—弓一60 +77 1 sin a ) ycosff + /cosApaf= 0 化简得 ?(? QV 取 一 2/sin + 277cos 值 k sin a/ 因(5a在约束条件下任意,欲使上式成立,须有: ( Q W- 2/ sin a + -z— + 277 cos a = 0 由此得 T = JFtan n — esc 区一 1 3 5.4解自由度£=1,质点位置为(力力 kdf +毕翁。 由己知得 =O 占+2然二。 印+2加。② 约束方程 联立②③可求得 x = 0 y = ±r 2厂或 又由于 y = ±r R = +W x = ± x = ± V = R = -k2r 5.5解如题5.5.1图 JDya题 J D y a 题S.S.I图 按题意仅重力作用,为保守系。因为已知羽二C,故可认为自由度为L 选广义坐标8二口,在球面坐标系中,质点的动能: Z -■ (/: +西+/一刎)(其由代表指标瓦己切 由于所以4=」内廿户 由于 所以 4=」内廿户+C, W? 2 又由于 2mAa2 2mAa2 sin 2 di T= Ts+T八+Te 二网夕铲 +G%、in26j + 2 为 Jsin290】 取Ox为零势,体系势能为: V..2“(%+啊)*6 故力学体系的拉氏函数为: L = T-y 伊 + O2 sina S)+ 2%/ sin2 戚 + 2ga (% 十燃Jgs5 5.6解如题5.6.1图. 必苟y) / 题56j图 (1)平面运动,一个自由度. ⑵选广义坐标为q=8,广义速度 (3)因未定体系受力类型,由一般形式的拉格朗日方程 里二。 dt\ dq j 学L Q IQi 型二 广义力 代入①得: T=[喀伊+r皆) T=[喀伊+r皆)=1J dt + 2(3 005- dt 4// cos2- + 4d(lAcos, @+o 铲 将以上各式代入②式得 阳口峭?2楹/加sinj+幽sin+ 2加。—g皿5=0 5.7解如题5.7.1图 又由于 所以 一 7T12 1 ,3 取坐标原点为零势面 拉氏函数 y * y.= —^x 2a v = wgy = mg — 4a ② 二
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