三轮复习--矩阵行列式.doc

三轮复习---矩阵、行列式 1．矩阵：由个数（；）按顺序排成的行、列矩形数表叫做矩阵，记为：，简记为：，读做：矩阵. 2．元素：矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，记为。 3．单位矩阵：主对角线上元素均为，其余元素均为的方矩阵，叫做单位矩阵，记为。 例如：阶单位矩阵：；阶单位矩阵：。 4．负矩阵：将矩阵中每一个元素变为其相反数，所得的矩阵称为矩阵的负矩阵，记为：。 5．零矩阵：所有的元素都为的矩阵，称为零矩阵。 6．相等矩阵：若两个矩阵是同类型，即，，当且仅当它们对应位置的元素都相等，即时，则称这两个矩阵相等，记做：。 7．矩阵的和（差）：两个同类型矩阵、对应位置上的元素相加（减），设，所得到的矩阵称为矩阵、的和，记做：。 注：矩阵相等、矩阵加减运算，前提条件是两矩阵的行数与列数相同。 矩阵加法运算律：① 交换律： ② 结合律：； 8．数与矩阵相乘：设为任意实数，将矩阵的所有元素都与相乘得到的矩阵叫做矩阵与实数的乘积矩阵，记作：。 注：实数与矩阵的乘法运算律：如果、是两个同类矩阵，、是任意实数，那么： ① 实数关于矩阵加法的分配律：； ② 矩阵关于实数加法的分配律：； ③ 实数关于实数与矩阵乘法的结合律：； 9．矩阵的乘积：当且仅当矩阵的列数与矩阵的行数相等时，定义矩阵的任意一个元素，则称矩阵是矩阵与矩阵的乘积，记作：。 注：两个矩阵进行乘法运算，必须是左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数，其核心为：“左行乘右列”。 矩阵变换:要“左乘”变换矩阵 ① 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵； ② 若，一般不能推出或者； ③ 若，即使是非零矩阵，也不一定有； ④ 矩阵乘法不满足交换律，即与一般不相等。 行列式 1．二阶行列式：，其展开式为：。 2．设二元一次方程组：，其中、、、是未知数、的系数，且不全为零，、是常数项，设，，，则方程组可整理为： ⅰ、当时，方程组有唯一解：； ⅱ、当，且、不全为零时，方程组无解； ⅲ、当时，方程组有无穷多组解。 注意：利用三阶行列式解线性方程组时：方程组有唯一解； 方程组有无穷解或无解（只需知道即可） 3．把九个数排成三行三列的方阵称为三阶行列式，记做：， 按行列展开为：。 ① 余子式：把三阶行列式中某元素所在的行和列划去后所得的二阶行列式叫做该元素的余子式，记做：（本质：还是行列式）。 ② 代数余子式：把某元素的余子式添上相应的符号，得到，叫做该元素的代数余子式。 例如：的余子式为：；代数余子式为； ③ 三阶行列式可以按任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；三阶行列式可以按任意一列展开成该列元素与其对应的代数余子式的乘积之和； 例如：； ； 4．在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、， 则的面积公式。